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16. (OPM2002) Uma pirâmide de base quadrada ABCD e vértice V tem todas as arestas com medida 1m. Um plano, passando pela aresta AB, corta as arestas VC e VD nos pontos P e Q, respectivamente, dividindo a pirâmide em dois sólidos S1 e S2. a) Dê o número de vértices, de faces e de arestas de S1 e S2 b) Calcule o volume da pirâmide VABCD. c) Calcule a razão VP/PC, sabendo que S1 e S2 têm o mesmo volume

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Lista 4_ Pirâmides Triangulares e Quadrangulares
3 pág.

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Respostas

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há 2 anos

a) S1 é um tetraedro e S2 é um tronco de pirâmide. O tetraedro tem 4 vértices, 4 faces e 6 arestas. O tronco de pirâmide tem 8 vértices, 7 faces e 14 arestas. b) O volume da pirâmide VABCD é 1/3 m³. c) A razão VP/PC é 1/3.

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1. (ITA1990) Seja V o vértice de uma pirâmide com base triangular ABC. O segmento AV, de comprimento unitário, é perpendicular à base. Os ângulos das faces laterais, no vértice V, são todos de 45 graus. Deste modo, o volume da pirâmide será igual a:

a) 2/6
b) 2/3
c) 2/2
d) 2/1
e) n.d.a

2. (IME 2012) Uma pirâmide regular triangular apresenta um volume V. Determine o raio da circunferência circunscrita a uma das faces laterais da pirâmide em função de V, sabendo que o ângulo do vértice vale 30º.

3. (UNICAMP2000) Seja P um ponto do espaço eqüidistante dos vértices A, B e C de um triângulo cujos lados medem 8cm, 8cm e 9,6cm. Sendo d(P,A)=10cm, calcule: a) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC; b) a altura do tetraedro, não regular, cujo vértice é o ponto P e cuja base é o triângulo ABC. c) O volume do tetraedro PABC.

4. (Ceará 1992) Seja LMN um triângulo tal que LN 1≤x, MN 1≤x e LM 0

5. (IFT MOSCOU) Uma pirâmide regular triangular é seccionada por um plano que passa por um de seus vértices da base e pelos pontos médios das arestas laterais. Achar a relação entre a superfície lateral da pirâmide e a área da base, sabendo-se que o plano secante é perpendicular a face lateral.

6. A altura de uma pirâmide triangular regular é h. O ângulo diédrico entre as faces laterais é φ. Determine o volume da pirâmide.

7. (IFT MOSCOU) Achar o ângulo diédrico entre as faces laterais de uma pirâmide regular triangular, se o ângulo diédrico formado por uma das faces laterais e a base é igual a α.

8. (FUVEST 2002) A figura adiante representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos eqüiláteros de lado l e que E é o ponto médio do segmento AB. Se a medida do ângulo ∠VEC é 60°, então o volume da pirâmide é:

a) 3√3l³/4
b) 3√3l³/8
c) 3√3l³/12
d) 3√3l³/16
e) 3√3l³/18

10. (IME 1994) Na exploração de uma mina foi feito o corte indicado na figura abaixo. Para calcular o volume do minério extraído do corte, foram medidos: CD = 10√3 dm, ∠ADC = 60°, ∠ADB = 30°. Calcule este volume.

11. (ITA1991) As arestas da base de uma pirâmide triangular regular medem l cm e as faces laterais são triângulos retângulos. O volume desta pirâmide é: a) 3√3l³/6 b) 3√3l³/12 c) 3√3l³/24 d) 3√3l³/32 e) n.d.a.

12. (ITA1995) Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua altura mede 3a cm, onde a é a medida da aresta de sua base. Então, a área total desta pirâmide, em cm², vale:

13. Cada face lateral de uma pirâmide triangular regular de apótema m forma com a base um ângulo de medida θ. Mostre que o volume dessa pirâmide é igual a (3m³/2) * sen²θ * cosθ.

14. (Ita 2015) Na construção de um tetraedro, dobra-se uma folha retangular de papel, com lados de 3cm e 4cm, ao longo de uma de suas diagonais, de modo que essas duas partes da folha formem um ângulo reto e constituam duas faces do tetraedro. Numa segunda etapa, de maneira adequada, completa-se com outro papel as faces restantes para formar o tetraedro. Obtenha as medidas das arestas do tetraedro.

15. (Fuvest 2013) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB = 2, AD = 3 e AE = 4. a) Qual é a área do triângulo ABD? b) Qual é o volume do tetraedro ABDE? c) Qual é a área do triângulo BDE? d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ?

17. (IME 2003) Seja uma pirâmide regular de vértice V e base quadrangular ABCD. O lado da base da pirâmide mede L e a aresta lateral L/2. Corta-se a essa pirâmide por um plano que contém o vértice A, é paralelo à reta BD, e contém o ponto médio da aresta VC. Calcule a área da seção determinada pela interseção do plano com a pirâmide.

18. O ângulo diédrico entre as faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular vale α. Determine o ângulo diédrico da face lateral com a base.

19. (IFTMOSCOU) Tomando as faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular como bases, constroem-se tetraedros regulares. Encontrar a distância entre os vértices externos de dois tetraedros adjacentes se a aresta da base da pirâmide é a.

20. (IME 2009) Seja um cubo de base ABCD com aresta a. No interior do cubo, sobre a diagonal principal, marca-se o ponto V, formando-se a pirâmide VABCD. Determine os possíveis valores da altura da pirâmide VABCD, em função de a, sabendo-se que a soma dos quadrados das arestas laterais da pirâmide é igual a 2k.a, sendo k um número primo.

21. (IME 2010) A área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular regular SABCD é duas vezes maior do que a área de sua base ABCD. Nas faces SAD e SDC traçam-se as medianas AQ e DP. Calcule o ângulo entre estas medianas.

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