Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e a relação entre a altura da pirâmide e a aresta do cubo. Seja h a altura da pirâmide VABCD e seja P o ponto médio do segmento AB. Temos que o triângulo VAP é retângulo em A e isósceles, pois VA = VP. Assim, temos: AP² = VA² - VP² AP² = h² - (a/2)² AP² = h² - a²/4 Como a soma dos quadrados das arestas laterais da pirâmide é igual a 2k.a, temos: VA² + VP² + AP² = 2k.a h² + a²/2 = 2k.a Substituindo AP² na equação acima, temos: h² + a²/2 = 2k.a h² + a²/2 = 2k.a h² + a²/2 = 2k.a h² + h² - a²/4 = 2k.a 2h² = 9a²/4 - 2k.a h² = (9a²/8 - k.a)/2 Assim, a altura da pirâmide VABCD em função de a e k é dada por: h = sqrt((9a²/8 - k.a)/2) Para que h seja um número real, é necessário que 9a²/8 - k.a seja positivo, ou seja: 9a²/8 > k.a 9a/8 > k Como k é um número primo, temos as seguintes possibilidades: k = 2, 3, 5, ou 7 Substituindo cada um desses valores na equação acima, temos: Para k = 2: h = sqrt((9a²/8 - 2a)/2) = sqrt((9a² - 32a)/16) = sqrt((a(9a - 32))/16) Para k = 3: h = sqrt((9a²/8 - 3a)/2) = sqrt((9a² - 48a)/24) = sqrt((a(9a - 48))/24) Para k = 5: h = sqrt((9a²/8 - 5a)/2) = sqrt((9a² - 80a)/40) = sqrt((a(9a - 80))/40) Para k = 7: h = sqrt((9a²/8 - 7a)/2) = sqrt((9a² - 112a)/56) = sqrt((a(9a - 112))/56) Portanto, os possíveis valores da altura da pirâmide VABCD, em função de a, são: h = sqrt((a(9a - 32))/16), se k = 2 h = sqrt((a(9a - 48))/24), se k = 3 h = sqrt((a(9a - 80))/40), se k = 5 h = sqrt((a(9a - 112))/56), se k = 7