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Geometria Analítica

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20. (Fuvest 2001) A elipse x2 + (y2/2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é:

a) (-2/3, -1/3)
b) (2/3, -7/3)
c) (1/3, -5/3)
d) (-1/3, 1/3)
e) (-1/4, 1/2)
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há 2 anos

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há 2 anos

Lista 4_ Elipse
3 pág.

Lista 4_ Elipse

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há 2 anos

Para encontrar os pontos de interseção entre a elipse e a reta, podemos substituir a equação da reta na equação da elipse e resolver para x. Temos: x^2 + [(2x+1)^2]/2 = 9/4 x^2 + 2x^2 + 2x + 1/2 = 9/4 3x^2 + 2x - 2 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: x = (-2 ± √34)/6 Substituindo esses valores na equação da reta, encontramos os pontos de interseção: A = (-1/3, 1/3) B = (1/3, -5/3) Para encontrar o ponto médio do segmento AB, podemos usar a fórmula: [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2] Substituindo os valores, temos: [(1/3 - 1/3)/2, (1/3 - 5/3)/2] = [0, -2/3] Portanto, a alternativa correta é a letra D) (-1/3, 1/3).

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1.(IME 2016) Um cone é inscrito em um cubo ABCDEFGH de forma que a base do cone é o círculo inscrito na base ABCD. O vértice do cone é o centro da face oposta do cubo. A projeção do vértice H na base ABCD coincide com o vértice D. Determine a área da seção do cone pelo plano ABH em função de a, a medida da aresta do cubo.

2.(IME) São dadas duas esferas , (e1) de centro O1 e raio 3, e (e2) de centro O2 de raio 9. A distancia entre os centros e 20. Estas esferas s são focais de uma secção elíptica (E) d e um cone de revolução. Determine a excentricidade e distancia focal de (E).

3 .(IME) E dada uma elipse de eixo focal 2.a e excentricidade igual a √2/3. Essa elipse e a secção de um cone de revolução. O ângulo que o plano da Elipse forma com o eixo do cone é ???? = 45????. Pede-se em função de a a distancia do vértice v do cone ao plano da elipse

4. (IME 2014) Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui comprimento da semi-distância focal igual a 3 e excentricidade igual a 3/2. Considere que os pontos A , B , C e D representam as interseções da elipse com as retas de equações y=x e y=-x. A área do quadrilátero ABCD é

a) 8
b) 16
c) 16√3
d) 16√5
e) 16√7

5.(Epcar (Afa) 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de equação 2x^2 - 9y + 8x - 54y + 88 = 0 é correto afirmar que

a) tem raio igual a 1.
b) tangencia o eixo das abscissas.
c) é secante ao eixo das ordenadas.
d) intercepta a reta de equação 4x – y = 0.

6.(IME 2013) Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. A equação do lugar geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito é

a) 2x^2 - 249x + 9y – 280x + 120y – 441 = 0
b) 2x^2 - 249x – 406x – 49y + 441 = 0
c) 2x^2 - 29x + 49y – 441 = 0
d) 2x^2 - 29x + 9y + 120y – 441 = 0
e) 2x^2 - 29x – 49y – 441 = 0

(UNICAMP) Dado uma elipse de semi-eixos a e b calcule, em termos destes parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse.

(AFA) Na figura abaixo, F1 e F2 são focos da elipse 25x^2 + 9y^2 = 1. O ponto C, de coordenadas (3, 2), pertence ao segmento MN. Os segmentos AC, CB e MN são, respectivamente, paralelos aos segmentos 21FF1 e PF2, PF. A área da figura sombreada, em unidades de área, é

a)3
b)6
c)9
d)12

(AFA) Sobre o triângulo PF1F2 onde P(2, 2) e F1 e F2 são focos da elipse 25x^2 + 9y^2 = 1, é correto afirmar que

a) é isósceles.
b) é obtusângulo.
c) tem área igual a 16
d) tem perímetro igual a 28

(IME) Determine a equação cartesiana da elipse de focos F(2, 0) e F'(-2, 0), tal que o valor máximo da área do triângulo definido pelos raios vetores de um mesmo ponto da curva e o eixo dos XX seja igual a oito unidades de área.

(AFA) A equação reduzida da cônica, representada no gráfico abaixo, é

a) 2(x-4)^2 + (y-3)^2/9 - 16/9 = 0
b) 2(x-5)^2 + (y-1)^2/9 - 16/9 = 0
c) 2(x-1)^2 + (y-5)^2/16 - 9/16 = 0
d) 2(x-1)^2 + (y-5)^2/9 - 16/9 = 0

(IME 2012) Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com lados iguais a m. A área da figura FHCG é igual à metade da área da figura ABHFG. Determine a equação da elipse de centro na origem e eixos formados pelos segmentos FC e GH.

a) 2x^2 - 248x + 36y – 2m = 0
b) 2x^2 - 28x + 16y – 3m = 0
c) 2x^2 - 216x + 48y – 3m = 0
d) 2x^2 - 28x + 24y – m = 0
e) 2x^2 - 216x – 24y – m = 0

(IME 2010) Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F e F ' . A reta r é tangente à elipse no ponto M e s é uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas suportes dos raios vetores MF e MF' interceptam a reta s em H e H' , respectivamente. Sabendo que o segmento FH mede 2 cm, o comprimento F'H' é:

a) 0,5 cm
b) 1,0 cm
c) 1,5 cm
d) 2,0 cm
e) 3,0 cm

14.(IME) Um cônica tem por equação 9y^2 - 18y + 25x^2 + 50x - 191 = 0. Identifique-a e calcule sua excentricidade, se for o caso.

(ITA) Considere a circunferência C de equação x² + y² - 2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de equação x² + 4y² - 4x + 8y + 4 = 0. Então:

a) C e E interceptam-se em dois pontos distintos
b) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos
c) C e E são tangentes exteriormente
d) C e E são tangentes interiormente
e) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam

(ITA) Tangenciando externamente a elipse 1, tal que 1: 9x^2 + 4y^2 - 72x - 24y +144 = 0 considere uma elipse 2, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de 1 e cujos eixos têm mesma medida que os eixos de 1. Sabendo que 2 está inteiramente contida no primeiro quadrante, o centro de 2 é:

a) (7,3)
b)(8,2)
c)(8,3)
d)(9,3)
e)( 9,2)

(FUVEST) a) Defina elipse de focos F1 e F2 b) Considere no plano xy a elipse de focos F1 = (-1,1) e F2 = (1,-1) e semi-eixo maior igual a 2.Calcule o outro semi-eixo da elipse c) Determine a intersecção da elipse com a reta de equação x = 1

3,5), determina triângulos com perímetro 2p = 16 cm é uma

a) elipse.
b) parábola.
c) hipérbole.
d) circunferência.

19. (Ufrj 2002) Uma elipse cuja distância focal mede 1 cm está inscrita em um retângulo (de lados paralelos aos eixos principais da elipse) de área igual a 2 cm2. Determine as medidas dos lados do retângulo.

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