3. (Fmj 2021) Um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 4 cm 6 cm 10 cm  tem volume equivalente ao volume de 12 paralelepípedos reto-retângu...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula do volume do paralelepípedo, que é dada por V = a x b x c, onde a, b e c são as dimensões do paralelepípedo. Sabemos que o volume do paralelepípedo reto-retângulo dado é igual ao volume de 12 paralelepípedos reto-retângulos idênticos, cujas dimensões são p, q e r. Portanto, temos: 4 x 6 x 10 = 12 x p x q x r 240 = 12pqr pqr = 20 A área total de cada um desses paralelepípedos menores é igual a 258 cm², sendo que uma das suas faces é um retângulo de área 220 cm². Como a área de um retângulo é dada por A = b x h, onde b é a base e h é a altura, podemos escrever: 220 = b x h h = 220/b A área total de cada paralelepípedo menor é igual a 258 cm², portanto, temos: 2ab + 2bc + 2ac = 258 Substituindo as dimensões do paralelepípedo menor por p, q e r, temos: 2pq + 2qr + 2pr = 258 pq + qr + pr = 129 Sabemos que pqr = 20, portanto, podemos escrever: pq + qr + pr = 129 pq + qr + pr + 2pqr/2pqr = 129 + 40/pqr (p+q)(q+r)(p+r)/pqr = 169/4 Substituindo pqr = 20, temos: (p+q)(q+r)(p+r) = 845 Expandindo essa expressão, temos: pqr + pq² + pr² + qr² + q²r + p²r + 2pqr² = 845 Substituindo pqr = 20, temos: 20 + pq² + pr² + qr² + q²r + p²r + 40 = 845 pq² + pr² + qr² + q²r + p²r = 785 Sabemos que (p+q+r)² = p² + q² + r² + 2pq + 2pr + 2qr, portanto, podemos escrever: (p+q+r)² - 2(pq + qr + pr) = p² + q² + r² Substituindo pq + qr + pr = 129 e pq² + pr² + qr² + q²r + p²r = 785, temos: (p+q+r)² - 2 x 129 = p² + q² + r² (p+q+r)² = p² + q² + r² + 258 Substituindo pqr = 20, temos: (p+q+r)² = p² + q² + r² + 258 (p+q+r)² = (p² + q² + r²) + 258 (p+q+r)² - (p² + q² + r²) = 258 p² + q² + r² + 2pq + 2pr + 2qr - p² - q² - r² = 258 2pq + 2pr + 2qr = 258 pq + pr + qr = 129 Substituindo pqr = 20, temos: 20 + pq² + pr² + qr² + q²r + p²r + 40 = 845 pq² + pr² + qr² + q²r + p²r = 785 Substituindo pq + pr + qr = 129, temos: p² + q² + r² = (p+q+r)² - 258 p² + q² + r² = (p+q+r)²/4 Substituindo (p+q+r)² = p² + q² + r² + 258, temos: p² + q² + r² = (p² + q² + r² + 258)/4 3p² + 3q² + 3r² = 1035 p² + q² + r² = 345 Substituindo pqr = 20, pq + pr + qr = 129 e p² + q² + r² = 345 na expressão pqr + pq² + pr² + qr² + q²r + p²r + 40 = 845, temos: 20 + 785 + p²r + 40 = 845 p²r = 0 Como p, q e r são dimensões de um paralelepípedo, eles não podem ser iguais a zero. Portanto, a resposta correta é a letra E) 10 cm.