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(Udesc 2019) O objetivo de um concurso era criar o ser vivo matemático mais curioso. O vencedor, batizado por seus criadores de Punctorum Grande, possuía as seguintes características: no seu nascimento ele era composto apenas por um ponto, e após 40 minutos duas hastes saíam deste ponto com um novo ponto. Após mais 40 minutos, outras duas hastes, com um novo ponto em cada, saíam de cada um dos pontos existentes e assim sucessivamente a cada 40 minutos. O número de pontos que esse ser vivo tinha após cinco horas e vinte minutos do seu nascimento, era:

a) 6561
b) 255
c) 2187
d) 4347
e) 64
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Aprimorando com Questões

há 2 anos

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há 2 anos

Tarefa Complementar - Progressão Geométrica
12 pág.

Tarefa Complementar - Progressão Geométrica

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há 4 meses

Vamos analisar a situação passo a passo. 1. Entendimento do problema: O ser vivo começa com 1 ponto. A cada 40 minutos, cada ponto existente gera 2 novos pontos. 2. Tempo total: 5 horas e 20 minutos equivalem a 320 minutos. Como cada ciclo de geração de pontos ocorre a cada 40 minutos, precisamos calcular quantos ciclos ocorreram em 320 minutos: \[ \text{Número de ciclos} = \frac{320}{40} = 8 \text{ ciclos} \] 3. Crescimento dos pontos: A cada ciclo, o número de pontos dobra. Vamos calcular o número de pontos após cada ciclo: - Ciclo 0: 1 ponto (inicial) - Ciclo 1: 1 ponto gera 2 novos pontos → 1 + 2 = 3 pontos - Ciclo 2: 3 pontos geram 6 novos pontos → 3 + 6 = 9 pontos - Ciclo 3: 9 pontos geram 18 novos pontos → 9 + 18 = 27 pontos - Ciclo 4: 27 pontos geram 54 novos pontos → 27 + 54 = 81 pontos - Ciclo 5: 81 pontos geram 162 novos pontos → 81 + 162 = 243 pontos - Ciclo 6: 243 pontos geram 486 novos pontos → 243 + 486 = 729 pontos - Ciclo 7: 729 pontos geram 1458 novos pontos → 729 + 1458 = 2187 pontos Portanto, após 8 ciclos, o número total de pontos é 2187. A alternativa correta é: c) 2187.

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há 2 anos

O ser vivo matemático Punctorum Grande é composto por um ponto no nascimento e, a cada 40 minutos, duas hastes saem deste ponto com um novo ponto em cada uma delas. Após mais 40 minutos, outras duas hastes, com um novo ponto em cada, saem de cada um dos pontos existentes e assim sucessivamente. Para descobrir quantos pontos o ser vivo terá após 5 horas e 20 minutos, é necessário converter esse tempo para minutos: 5 horas = 5 x 60 = 300 minutos 20 minutos = 20 minutos Total = 320 minutos A cada 40 minutos, o número de pontos é multiplicado por 3, pois cada ponto gera duas novas hastes com um novo ponto em cada uma delas. Então, o número de pontos após 320 minutos é: 1 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3^20 = 3486784401 Portanto, a alternativa correta é a letra C) 2187.

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Tarefa Complementar - Progressão Geométrica
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Tarefa Complementar - Progressão Geométrica

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1. (Espm 2013) Para que a sequência ( 9, 5, 3)  se transforme numa progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo número. Esse número é:

a) par
b) quadrado perfeito
c) primo
d) maior que 15
e) não inteiro

2. (Pucrj 2014) A Copa do Mundo, dividida em cinco fases, é disputada por 32 times. Em cada fase, só metade dos times se mantém na disputa pelo título final. Com o mesmo critério em vigor, uma competição com 64 times iria necessitar de quantas fases?

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

3. (Mackenzie 2015) Se os números 3, A e B, nessa ordem, estão em progressão aritmética e os números 3, A 6 e B, nessa ordem, estão em progressão geométrica, então o valor de A é

a) 12
b) 15
c) 18
d) 21
e) 24

4. (Uece 2016) Seja 1 2 3x , x , x , , uma progressão geométrica cuja razão é o número real positivo q. Se 5x 24q e 5 6x x 90,  então, o termo 1x desta progressão é um número

a) inteiro.
b) racional maior do que 7,1.
c) irracional maior do que 7,1.
d) racional menor do que 7,0.

5. (Unicamp 2019) A figura a seguir exibe um pentágono em que quatro lados consecutivos têm comprimentos a, b, c e d. Se a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica de razão q 1, então tan θ é igual a

a) 1 q.
b) q.
c) 2q .
d) q.

6. (Unicamp 2018) Considere a sequência de números reais 1 2 3 4 5(a , a , a , a , a ) tal que 1 2 3(a , a , a ) é uma progressão geométrica e 3 4 5(a , a , a ) é uma progressão aritmética, ambas com a mesma razão w. a) Determine a sequência no caso em que 3a 3 e w 2. b) Determine todas as sequências tais que 1a 1 e 5a 8.

7. ( ifpe 2018) Dudu quer se tornar um youtuber famoso, mas, em seu primeiro vídeo, ele obteve apenas 5 inscritos em seu canal. Obstinado que é, Dudu pretende, a cada novo vídeo, dobrar a quantidade de inscritos em seu canal. Se no primeiro mês ele postar 10 vídeos e conseguir atingir a meta estabelecida, ao fim deste mês, seu canal terá

a) 1.024 inscritos.
b) 5.120 inscritos.
c) 5.115 inscritos.
d) 1.023 inscritos.
e) 310 inscritos.

8. ( ifal 2017) Sabendo que o primeiro termo de uma Progressão Geométrica é 1a 2 e a razão q 3, determine a soma dos 5 primeiros termos dessa progressão:

a) 80.
b) 141.
c) 160.
d) 242.
e) 322.

9. (Unesp 2013) Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto 0P , localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o ponto 3P , em r. Na figura, 1O, O e 2O são os centros das três primeiras semicircunferências traçadas e R, R2, R4seus respectivos raios. A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados por nO e n nR R,2 respectivamente, até o ponto nP , também em r. Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita pela partícula, em função do raio R, quando n tender ao infinito, será igual a

a) 2Rπ.
b) 3Rπ.
c) n2Rπ.
d) 7R4π.
e) 2Rπ.

10. (Ufrgs 2017) Na figura abaixo, encontram-se representados quadrados de maneira que o maior quadrado 1(Q ) tem lado 1. O quadrado 2Q está construído com vértices nos pontos médios dos lados de 1Q ; o quadrado 3Q está construído com vértices nos pontos médios dos lados de 2Q e, assim, sucessiva e infinitamente. A soma das áreas da sequência infinita de triângulos sombreados na figura é

a) 12.
b) 14.
c) 18.
d) 116.
e) 132.

11. (Unicamp 2019) A figura a seguir exibe um pentágono em que quatro lados consecutivos têm comprimentos a, b, c e d. Se a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica de razão q 1, então tan θ é igual a

a) 1 q.
b) q.
c) 2q .
d) q.

12. (Famema 2019) A progressão aritmética 1 2 3(a , a , a , ) tem razão 2 e os termos 1 2a , a e 5a formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. A razão da progressão geométrica é

a) 4.
b) 5.
c) 1.
d) 2.
e) 3.

13. (Udesc 2019) O objetivo de um concurso era criar o ser vivo matemático mais curioso. O vencedor, batizado por seus criadores de Punctorum Grande, possuía as seguintes características: no seu nascimento ele era composto apenas por um ponto, e após 40 minutos duas hastes saíam deste ponto com um novo ponto. Após mais 40 minutos, outras duas hastes, com um novo ponto em cada, saíam de cada um dos pontos existentes e assim sucessivamente a cada 40 minutos. O número de pontos que esse ser vivo tinha após cinco horas e vinte minutos do seu nascimento, era:

a) 6561
b) 255
c) 2187
d) 4347
e) 64

14. (Fuvest 2019) Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0,1mm de espessura. A pilha é formada da seguinte maneira: coloca‐se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de grandeza

a) da altura de um poste.
b) da altura de um prédio de 30 andares.
c) do comprimento da Av. Paulista.
d) da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ).
e) do diâmetro da Terra.

15. (Famerp 2021) O domínio da função f, dada pela lei x f(x) 6 3 ,  é o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sabendo que 6 3 729, a média aritmética de todos os elementos do conjunto imagem dessa função é igual a

a) 1.092.
b) 729.
c) 970.
d) 1.086.
e) 1.458.

16. (Unicamp 2021) Seja x um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são 1, 2x, 3x 1,  nesta ordem. Sabendo que todos os termos da progressão são

positivos, a soma de todos eles é igual a

a) 3 2.
b) 2.
c) 5 2.
d) 3.

(Unicamp 2021) Considere que as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica. Sendo a a medida do menor lado e A a área desse triângulo, é correto afirmar que

a) 2 2 5 2 A a . 4  
b) 2 2 5 2 A a . 4  
c) 2 2 5 2 A a . 2  
d) 2 2 5 2 A a . 2  

(Fuvest 2019) Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0,1mm de espessura. A pilha é formada da seguinte maneira: coloca‐se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de grandeza

a) da altura de um poste.
b) da altura de um prédio de 30 andares.
c) do comprimento da Av. Paulista.
d) da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ).
e) do diâmetro da Terra.

(Enem 2018) Torneios de tênis, em geral, são disputados em sistema de eliminatória simples. Nesse sistema, são disputadas partidas entre dois competidores, com a eliminação do perdedor e promoção do vencedor para a fase seguinte. Dessa forma, se na 1ª fase o torneio conta com 2n competidores, então na 2ª fase restarão n competidores, e assim sucessivamente até a partida final. Em um torneio de tênis, disputado nesse sistema, participam 128 tenistas. Para se definir o campeão desse torneio, o número de partidas necessárias é dado por

a) 2 128
b) 64 32 16 8 4 2    
c) 128 64 32 16 16 8 4 2 1       
d) 128 64 32 16 16 8 4 2      
e) 64 32 16 8 4 2 1     

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