Problemas de Combinatória e Conjuntos

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272. Questão: Se \( A = \{1,2,3,4,5\} \), quantos subconjuntos podem ser formados 
contendo exatamente 2 elementos? 
 Resposta: O número de subconjuntos é \( \binom{5}{2} = 10 \). 
 
273. Questão: Determine o número de soluções inteiras não negativas da equação \( x_1 + 
x_2 + x_3 = 42 \). 
 Resposta: O número de soluções é \( \binom{42 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{44}{2} = 946 \). 
 
274. Questão: Se \( |A| = 40 \) e \( |B| = 41 \), quantos elementos existem em \( A \times B 
\)? 
 Resposta: O número de elementos em \( A \times B \) é \( 40 \times 41 = 1640 \). 
 
275. Questão: Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{175} k^2 \). 
 Resposta: O valor é \( \frac{175(175 + 1)(2 \times 175 + 1)}{6} = 2141295 \). 
 
276. Questão: Se \( n = 56 \), qual é o valor de \( \binom{n}{3} - \binom{n}{4} + \binom{n}{5} 
- \binom{n}{6} \)? 
 Resposta: O valor é \( \binom{56}{3} - \binom{56}{4} + \binom{56}{5} - \binom{56}{6} = 
27520 - 348880 + 3410550 - 25621440 = -19186350 \). 
 
277. Questão: Qual é o número máximo de arestas em um grafo simples com 37 vértices? 
 Resposta: O número máximo de arestas é \( \binom{37}{2} = 666 \). 
 
278. Questão: Se \( A = \{1,2,3,4\} \) e \( B = \{3,4,5,6\} \), qual é a interseção entre \( A \) e \( 
B \)? 
 Resposta: A interseção entre \( A \) e \( B \) é \( \{3,4\} \). 
 
279. Questão: Determine o número de permutações de 21 elementos com 3 elementos 
repetidos. 
 Resposta: O número de permutações é \( \frac{21!}{3!} = 41.129.476.224.256.000 \). 
 
280. Questão: Se \( |A| = 41 \) e \( |B| = 42 \), qual é o número máximo de elementos em \( A 
\cap B \)? 
 Resposta: O número máximo de elementos em \( A \cap B \) é 41.