Problemas de Combinatória e Conjuntos

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137. Questão: Se \( A = \{1,2,3,4,5\} \), quantos subconjuntos podem ser formados 
contendo exatamente 2 elementos? 
 Resposta: O número de subconjuntos é \( \binom{5}{2} = 10 \). 
 
138. Questão: Determine o número de soluções inteiras não negativas da equação \( x_1 + 
x_2 + x_3 = 24 \). 
 Resposta: O número de soluções é \( \binom{24 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{26}{2} = 325 \). 
 
139. Questão: Se \( |A| = 22 \) e \( |B| = 23 \), quantos elementos existem em \( A \times B 
\)? 
 Resposta: O número de elementos em \( A \times B \) é \( 22 \times 23 = 506 \). 
 
140. Questão: Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{90} k^2 \). 
 Resposta: O valor é \( \frac{90(90 + 1)(2 \times 90 + 1)}{6} = 819450 \). 
 
141. Questão: Se \( n = 29 \), qual é o valor de \( \binom{n}{3} - \binom{n}{4} + \binom{n}{5} 
- \binom{n}{6} \)? 
 Resposta: O valor é \( \binom{29}{3} - \binom{29}{4} + \binom{29}{5} - \binom{29}{6} = 
3654 - 20349 + 88803 - 316290 = -192582 \). 
 
142. Questão: Qual é o número máximo de arestas em um grafo simples com 19 vértices? 
 Resposta: O número máximo de arestas é \( \binom{19}{2} = 171 \). 
 
143. Questão: Se \( A = \{1,2,3,4\} \) e \( B = \{3,4,5,6\} \), qual é a interseção entre \( A \) e \( 
B \)? 
 Resposta: A interseção entre \( A \) e \( B \) é \( \{3,4\} \). 
 
144. Questão: Determine o número de permutações de 12 elementos com 3 elementos 
repetidos. 
 Resposta: O número de permutações é \( \frac{12!}{3!} = 479001600 \). 
 
145. Questão: Se \( |A| = 23 \) e \( |B| = 24 \), qual é o número máximo de elementos em \( A 
\cap B \)?