Problemas de Combinatória e Matemática

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Resposta: O número de subconjuntos é \( 2^4 - \binom{4}{1} - \binom{4}{0} = 14 \). 
 
180. Questão: Se \( n = 37 \), qual é o valor de \( \binom{n}{2} - \binom{n}{3} + \binom{n}{4} 
\)? 
 Resposta: O valor é \( \binom{37}{2} - \binom{37}{3} + \binom{37}{4} = 666 - 7770 + 
66045 = 59041 \). 
 
181. Questão: Qual é o número mínimo de cores necessárias para colorir um grafo 
completo com 24 vértices? 
 Resposta: O número mínimo de cores é 24. 
 
182. Questão: Se \( A = \{1,2,3,4,5\} \), quantos subconjuntos podem ser formados 
contendo exatamente 2 elementos? 
 Resposta: O número de subconjuntos é \( \binom{5}{2} = 10 \). 
 
183. Questão: Determine o número de soluções inteiras não negativas da equação \( x_1 + 
x_2 + x_3 = 30 \). 
 Resposta: O número de soluções é \( \binom{30 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{32}{2} = 496 \). 
 
184. Questão: Se \( |A| = 28 \) e \( |B| = 29 \), quantos elementos existem em \( A \times B 
\)? 
 Resposta: O número de elementos em \( A \times B \) é \( 28 \times 29 = 812 \). 
 
185. Questão: Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{120} k^2 \). 
 Resposta: O valor é \( \frac{120(120 + 1)(2 \times 120 + 1)}{6} = 866340 \). 
 
186. Questão: Se \( n = 38 \), qual é o valor de \( \binom{n}{3} - \binom{n}{4} + \binom{n}{5} 
- \binom{n}{6} \)? 
 Resposta: O valor é \( \binom{38}{3} - \binom{38}{4} + \binom{38}{5} - \binom{38}{6} = 
9126 - 61824 + 319770 - 1294440 = -945768 \). 
 
187. Questão: Qual é o número máximo de arestas em um grafo simples com 25 vértices? 
 Resposta: O número máximo de arestas é \( \binom{25}{2} = 300 \).