QUESTÃO 4) Determine o menor número de subintervalos, ????, necessários para aproximar ∫ 1 ???? + 4 ???????? 2 0 com erro ???? ≤ 10−5 usando a: a) (2 ponto...

Para determinar o menor número de subintervalos necessários para aproximar a integral ∫ 1 até 4 de x^2 dx com erro ≤ 10^-5, podemos usar as fórmulas de erro para a regra dos trapézios e a 1ª regra de Simpson. a) Regra dos trapézios: A fórmula de erro para a regra dos trapézios é dada por: E_t ≤ (b-a)^3 / (12*n^2) * max|f''(x)|, onde a e b são os limites de integração, n é o número de subintervalos e f''(x) é a segunda derivada de f(x). Para x^2, temos que f''(x) = 2, que é constante. Então, podemos usar a fórmula de erro para encontrar o número mínimo de subintervalos necessários: E_t ≤ (4-1)^3 / (12*n^2) * 2 ≤ 10^-5 27 / (12*n^2) ≤ 10^-5 n^2 ≥ 22500/4 n ≥ 75/2 n ≥ 38 Portanto, o menor número de subintervalos necessários para aproximar a integral com erro ≤ 10^-5 usando a regra dos trapézios é 38. b) 1ª regra de Simpson: A fórmula de erro para a 1ª regra de Simpson é dada por: E_s ≤ (b-a)^5 / (2880*n^4) * max|f^(4)(x)|, onde a e b são os limites de integração, n é o número de subintervalos e f^(4)(x) é a quarta derivada de f(x). Para x^2, temos que f^(4)(x) = 0, então a fórmula de erro se torna: E_s ≤ (4-1)^5 / (2880*n^4) * 0 ≤ 10^-5 0 ≤ 10^-5 Nesse caso, não há necessidade de calcular o número de subintervalos, pois a fórmula de erro indica que o erro é zero. Portanto, o menor número de subintervalos necessários para aproximar a integral com erro ≤ 10^-5 usando a 1ª regra de Simpson é zero.