QUESTÃO 4) (20 pontos) Determine o menor número de subintervalos, ????, necessários para aproximar ∫ ????2????????????(????) ???????? ???? 0 com erro ???? ≤ 10−5 usan...

a) Para determinar o menor número de subintervalos necessários para aproximar a integral ∫????????????(????)???????? com erro ???? ≤ 10−5 usando a regra do trapézio composta, podemos utilizar a seguinte fórmula: ???? ≥ √((???? − ????)^3 ????′′(????)/(12????)) Onde ????′′(????) é a segunda derivada de ????(????) avaliada em ????, que é um valor entre ???? e ????. Como não temos a função ????(????), podemos utilizar a desigualdade de Taylor para aproximar o valor de ????′′(????): |????′′(????)| ≤ ????, para todo ???? ∈ [????, ????] Onde ???? é uma constante que representa o valor máximo da segunda derivada de ????(????) no intervalo [????, ????]. Assim, podemos reescrever a fórmula acima como: ???? ≥ √((???? − ????)^3 ????/(12????)) Substituindo os valores dados na questão, temos: ???? ≥ √((1 − 0)^3 (4)/(12 × 10^-5)) ≈ 1067 Portanto, o menor número de subintervalos necessários é 1067. b) Para determinar o menor número de subintervalos necessários para aproximar a integral ∫????????????(????)???????? com erro ???? ≤ 10−5 usando a 2ª regra de Simpson composta, podemos utilizar a seguinte fórmula: ???? ≥ √((???? − ????)^5 ????(4)(????)/(2880????)) Onde ????(4)(????) é a quarta derivada de ????(????) avaliada em ????, que é um valor entre ???? e ????. Como não temos a função ????(????), podemos utilizar a desigualdade de Taylor para aproximar o valor de ????(4)(????): |????(4)(????)| ≤ ????, para todo ???? ∈ [????, ????] Onde ???? é uma constante que representa o valor máximo da quarta derivada de ????(????) no intervalo [????, ????]. Assim, podemos reescrever a fórmula acima como: ???? ≥ √((???? − ????)^5 ????/(2880????)) Substituindo os valores dados na questão, temos: ???? ≥ √((1 − 0)^5 (16)/(2880 × 10^-5)) ≈ 35 Portanto, o menor número de subintervalos necessários é 35.