5) a) Encontre a fatoração do número 539. Resposta: 539 7 539 = 72 * 111 ou 7 * 7 * 11 77 7 11 11 1 b)...

5) a) Encontre a fatoração do número 539. Resposta: 539 7 539 = 72 * 111 ou 7 * 7 * 11 77 7 11 11 1 b) Utilizando a fatoração obtida no Item a, descubra quantos divisores positivos o número 539 tem. Em seguida, liste todos os divisores positivos de 539. OBS.: Não será válido calcular os divisores para contá-los depois. É necessário encontrar o total de divisores de forma independente da listagem dos divisores. Resposta: 539 = 72 * 111 = (2 + 1) * (1 + 1) = 3 * 2 = 6 divisores positivos de 539 70 * 110 = 1 71 * 110 = 7 70 * 111 = 11 71 * 111 = 77 72 * 110 = 49 72 * 111 = 539 Divisores de 539: 1, 7, 11, 49, 77, 539 c) Verifique se o número 737 é primo. Resposta: Usando o algoritmo da fatoração, para verificar se P|737 para cada inteiro P ≤ √737 que seja primo, tendo P ≤ 13, com 6 números primos no intervalo: 2 ∤ 737, 737 MOD 2 = 1 3 ∤ 737, 737 MOD 3 = 2 5 ∤ 737, 737 MOD 5 = 2 7 ∤ 737, 737 MOD 7 = 2 11 | 737, 737 MOD 11 = 0 13 ∤ 737, 737 MOD 13 = 9 Pelo algoritmo, chega-se a uma conclusão que 737 não é primo, pois 11 divide 737. 737 11 737 = 111 * 671 67 67 1 d) Fatores os números 168 e 490. Utilize estas fatorações para calcular os valores de mdc(168, 490) e mmc(168, 490). Resposta: 168 2 168 = 23 * 31 * 71 490 2 490 = 21 * 51 *72 84 2 245 5 42 2 49 7 21 7 7 7 3 3 1 1 Divisores de 168: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168. Divisores de 490: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 49, 70, 98, 245, 490. MDC(168, 490) = 14. MMC(168, 490) = 23 * 31 * 51 *72 = 5880 e) Encontre todos os divisores positivos comuns de 168 e 490. Resposta: 168 = 23 * 31 * 71 = (3 + 1) * (1 + 1) * (1 + 1) = 4 * 2 * 2 = 16 divisores positivos de 168. 20 * 30 * 70 = 1 21 * 30 * 70 = 2 20 * 31 * 70 = 3 20 * 30 * 71 = 7 21 * 31 * 70 = 6 20 * 31 * 71 = 21 21 * 30 * 71 = 14 21 * 31 * 71 = 42 22 * 30 * 70 = 4 22 * 30 * 71 = 28 22 * 31 * 70 = 12 22 * 31 * 71 = 84 23 * 30 * 70 = 8 23 * 31 * 71 = 168 Divisores de 168: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168. 490 = 21 * 51 *72 = (1 + 1) * (1 + 1) * (2 + 1) = 2 * 2 * 3 = 12 divisores positivos de 490 20 * 50 *70 = 1 21 * 50 *70 = 2 20 * 51 *70 = 5 20 * 50 *71 = 7 21 * 51 *70 = 10 20 * 51 *71 = 35 21 * 51 *71 = 70 20 * 50 *72 = 49 21 * 50 *71 = 14 21 * 5 *72 = 98 20 * 51 *72 = 245 21 * 51 *72 = 490 Divisores de 490: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 49, 70, 98, 245, 490. BÔNUS 1: Suponha que a e b sejam inteiros ímpares, com a ≠ b. Mostre que existe um único inteiro c tal que |a − c| = |b − c|. Obs.: |x| denota o módulo de x, onde x é um número qualquer. Resposta: Para provar o teorema, primeiramente temos que a é diferente de b, então existem dois inteiros r e s tais que a = 2r+1, b = (2s+1); para c, existe um inteiro t tal que c = 2t. Ficando assim |(2r+1) – 2t| = |(2s+1) – 2t|  |-(2rt+1)| = |(2st+1)|  |2t+1| = |2t+1|  2t+1 = 2t+1. Provando assim como verdadeiro o teorema.