Sendo g contínua em a, Precisamos provar que, para todo ∊ > 0 dado, existe δ > 0 tal que

Pelo que entendi, você precisa provar que para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que |g(x) - g(a)| < ε sempre que |x - a| < δ. Isso é a definição de continuidade de g em a. Para provar isso, podemos usar a definição de limite. Seja ε > 0 dado. Como g é contínua em a, temos que lim x → a g(x) = g(a). Portanto, existe δ > 0 tal que |g(x) - g(a)| < ε/2 sempre que 0 < |x - a| < δ. Além disso, como g é contínua em a, temos que lim x → a g(x) = g(a). Portanto, existe δ' > 0 tal que |g(x) - g(a)| < ε/2 sempre que 0 < |x - a| < δ'. Escolhendo δ = min{δ, δ'}, temos que |g(x) - g(a)| < ε/2 e |x - a| < δ. Portanto, temos que |g(x) - g(a)| < ε. Isso prova que g é contínua em a.