A sequência (an) é definida do seguinte modo: a1 = 5 an + 1 = an + 3 Determine a média aritmética dos 51 primeiros termos dessa sequência.

Para determinar a média aritmética dos 51 primeiros termos da sequência definida por \( a_1 = 5 \) e \( a_{n+1} = a_n + 3 \), vamos primeiro encontrar os termos da sequência. 1. Encontrar os termos da sequência: - \( a_1 = 5 \) - \( a_2 = a_1 + 3 = 5 + 3 = 8 \) - \( a_3 = a_2 + 3 = 8 + 3 = 11 \) - \( a_4 = a_3 + 3 = 11 + 3 = 14 \) - E assim por diante. Podemos observar que a sequência é uma progressão aritmética (PA) com o primeiro termo \( a_1 = 5 \) e a razão \( r = 3 \). 2. Fórmula do n-ésimo termo da PA: A fórmula do n-ésimo termo de uma PA é dada por: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \] Substituindo os valores: \[ a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 \] \[ a_n = 5 + 3n - 3 = 3n + 2 \] 3. Encontrar os 51 primeiros termos: Para \( n = 1 \) até \( n = 51 \): - \( a_1 = 3(1) + 2 = 5 \) - \( a_2 = 3(2) + 2 = 8 \) - ... - \( a_{51} = 3(51) + 2 = 155 \) 4. Calcular a soma dos 51 primeiros termos: A soma dos termos de uma PA é dada por: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] Onde \( n = 51 \), \( a_1 = 5 \) e \( a_{51} = 155 \): \[ S_{51} = \frac{51}{2} \cdot (5 + 155) = \frac{51}{2} \cdot 160 = 51 \cdot 80 = 4080 \] 5. Calcular a média aritmética: A média aritmética é dada por: \[ \text{Média} = \frac{S_n}{n} = \frac{4080}{51} = 80 \] Portanto, a média aritmética dos 51 primeiros termos da sequência é 80.