22. Ache o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = |x − 3|, e pelas retas x = 1, x = 5 e y ...

Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = |x − 3|, e pelas retas x = 1, x = 5 e y = 0, podemos utilizar o método de discos ou de arruelas. Método de discos: - Divida a região em fatias verticais de espessura dx. - Para cada fatia, calcule a área do disco gerado pela rotação em torno do eixo y. - Some todas as áreas para obter o volume total. Método de arruelas: - Divida a região em fatias verticais de espessura dx. - Para cada fatia, calcule a área da arruela gerada pela rotação em torno do eixo y. - Some todas as áreas para obter o volume total. Para ambos os métodos, a área do disco ou da arruela pode ser calculada como A = πr², onde r é o raio da figura gerada pela rotação. No caso deste problema, a região é simétrica em relação ao eixo y = 3, então podemos calcular o volume para x variando de 1 a 3 e multiplicar por 2 para obter o volume total. Usando o método de arruelas, temos: - Para x variando de 1 a 3, o raio da arruela é r = 3 - x. - A espessura da arruela é dx. - A área da arruela é A = π(3 - x)² - π(|x - 3|)². - O volume da arruela é dV = A*dx. - Integrando de x = 1 a x = 3, temos V = 2∫[π(3 - x)² - π(|x - 3|)²]dx. - Resolvendo a integral, encontramos V = 32π/3. Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y é 32π/3.