4. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. a) x = 1 + 2√t, y = t^3...
a) x = 1 + 2√t, y = t^3 − t, z = t^3 + t; (3, 0, 2)
b) x = et, y = tet, z = tet^2 ; (1, 0, 0)
c) x = e−t cos t, y = e−t sin t, z = e−t; (1, 0, 1)
d) x = √(t^2 + 3), y = ln(t^2 + 3), z = t; (2, ln (4), 1)
💡 1 Resposta
Ed 
a) Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos encontrar a derivada da curva paramétrica e avaliá-la no ponto dado. x = 1 + 2√t, y = t^3 − t, z = t^3 + t dx/dt = √t dy/dt = 3t^2 - 1 dz/dt = 3t^2 + 1 Avaliando as derivadas no ponto (3, 0, 2), temos: dx/dt = √3 dy/dt = 9 dz/dt = 9 Portanto, o vetor diretor da reta tangente é <√3, 9, 9>. Usando a equação vetorial da reta, temos: x = 1 + 2√t + √3(s - 3) y = t^3 − t + 9(s - 0) z = t^3 + t + 9(s - 2) Portanto, as equações paramétricas da reta tangente são: x = 2√t + √3s - √3 y = t^3 + 9s z = t^3 + 9s - 16 Resposta: a) x = 2√t + √3s - √3, y = t^3 + 9s, z = t^3 + 9s - 16.
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