Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.

Para determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva, podemos usar o conceito de derivada. Primeiro, vamos encontrar as derivadas das equações paramétricas em relação ao parâmetro t: dx/dt = -tsen(t) + cos(t) dy/dt = 2πtcos(2πt) dz/dt = 4 Agora, vamos substituir o valor de t = 0 na derivada para encontrar o vetor diretor da reta tangente: V = (dx/dt, dy/dt, dz/dt) = (-0sen(0) + cos(0), 2π(0)cos(2π(0)), 4) = (1, 0, 4) Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente usando o ponto dado (0, 1/4, 1) e o vetor diretor encontrado: x = 0 + 1t y = 1/4 + 0t z = 1 + 4t Portanto, as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto (0, 1/4, 1) são: x = t y = 1/4 z = 1 + 4t