9. Um lado de um triângulo está aumentando em uma taxa de 3 cm/s e um segundo lado está decrescendo em uma taxa de 2 cm/s. Se a área do triângulo p...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula da área do triângulo: Área = (base x altura) / 2 Sabemos que a área do triângulo permanece constante, então podemos igualar as áreas em dois momentos diferentes: Área1 = Área2 (base1 x altura1) / 2 = (base2 x altura2) / 2 Multiplicando ambos os lados por 2, temos: base1 x altura1 = base2 x altura2 Agora, podemos derivar ambos os lados em relação ao tempo: (base1 x altura1)' = (base2 x altura2)' Derivando cada termo, temos: (base1)' x altura1 + base1 x (altura1)' = (base2)' x altura2 + base2 x (altura2)' Sabemos que o primeiro lado está aumentando em uma taxa de 3 cm/s, então (base1)' = 3. O segundo lado está decrescendo em uma taxa de 2 cm/s, então (base2)' = -2. Também sabemos que a base1 tem 20 cm de comprimento e a base2 tem 30 cm de comprimento quando o ângulo é π/6. Podemos usar a lei dos cossenos para encontrar a altura do triângulo: h² = 20² + 30² - 2 x 20 x 30 x cos(π/6) h² = 400 + 900 - 600 h² = 700 h = √700 Agora podemos substituir os valores conhecidos na equação acima e resolver para (altura2)': 3 x √700 + 20 x (altura1)' = -2 x √700 + 30 x (altura2)' (altura2)' = (3 x √700 + 20 x (altura1)' + 2 x √700) / 30 Agora precisamos encontrar a taxa na qual o ângulo está variando. Podemos usar a lei dos cossenos novamente para encontrar o cosseno do ângulo: cos(θ) = (20² + 30² - h²) / (2 x 20 x 30) cos(θ) = (400 + 900 - 700) / 1200 cos(θ) = 5/8 Agora podemos derivar ambos os lados em relação ao tempo: (cos(θ))' = (5/8)' Derivando cada termo, temos: (-sen(θ) x θ') = 0 θ' = 0 Portanto, a taxa na qual o ângulo está variando é zero.