17. O vetor w⃗ é ortogonal aos vetores u⃗ = (2, 3,−1) e v⃗ = (1,−2, 3) e w⃗ · (2,−1, 1) = −6. Encontre w⃗.

Para encontrar o vetor w⃗, precisamos usar as propriedades de ortogonalidade e produto escalar. Sabemos que o vetor w⃗ é ortogonal aos vetores u⃗ e v⃗, o que significa que o produto escalar entre w⃗ e cada um desses vetores é igual a zero: w⃗ · u⃗ = 0 w⃗ · v⃗ = 0 Também sabemos que o produto escalar entre w⃗ e o vetor (2,−1, 1) é igual a -6: w⃗ · (2,−1, 1) = -6 Podemos usar essas informações para encontrar as componentes do vetor w⃗. Começamos com a primeira equação: w⃗ · u⃗ = 0 (w1, w2, w3) · (2, 3,−1) = 0 2w1 + 3w2 - w3 = 0 Em seguida, usamos a segunda equação: w⃗ · v⃗ = 0 (w1, w2, w3) · (1,−2, 3) = 0 w1 - 2w2 + 3w3 = 0 Finalmente, usamos a terceira equação: w⃗ · (2,−1, 1) = -6 (w1, w2, w3) · (2,−1, 1) = -6 2w1 - w2 + w3 = -6 Temos agora um sistema de três equações com três incógnitas. Podemos resolvê-lo usando qualquer método de álgebra linear, como eliminação gaussiana ou substituição. Aqui, usaremos o método de substituição: 1. Isolamos w3 na primeira equação: w3 = 2w1 + 3w2 2. Substituímos w3 na segunda equação: w1 - 2w2 + 3(2w1 + 3w2) = 0 7w1 + 7w2 = 0 w1 + w2 = 0 w1 = -w2 3. Substituímos w1 na terceira equação: 2(-w2) - w2 + w3 = -6 -3w2 + w3 = -6 Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas. Podemos novamente usar o método de substituição: 1. Isolamos w3 na segunda equação: w3 = -3w2 - 6 2. Substituímos w3 na primeira equação: w1 = -w2 3. Substituímos w1 e w3 na terceira equação: 2(-w2) - w2 + (-3w2 - 6) = -6 -6w2 = 0 w2 = 0 4. Encontramos w1 e w3 usando as equações que já conhecemos: w1 = -w2 = 0 w3 = -3w2 - 6 = -6 Portanto, o vetor w⃗ é (0, 0, -6).