Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base ortogonal e a base B = { v = ( 1 , 2 ) , u = ( x , y ) } ortogonal do espaç...

Para encontrar as coordenadas do vetor u em relação à base ortogonal B, precisamos primeiro encontrar um vetor ortogonal a v = (1, 2). Podemos fazer isso encontrando um vetor perpendicular a v, que pode ser encontrado através do produto interno. Seja w = (a, b) um vetor perpendicular a v, então temos: v . w = 0 (1, 2) . (a, b) = 0 a + 2b = 0 a = -2b Portanto, um vetor ortogonal a v é w = (-2, 1). Agora, podemos usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar a base ortogonal de B: 1. Normalização de v: v' = v / ||v|| = (1/√5, 2/√5) 2. Projeção de u em v: projv(u) = (u.v')v' = ((1/√5)x + (2/√5)y)(1/√5, 2/√5) = (x+2y)/5 (1, 2) 3. Subtração da projeção de u em v de u: w = u - projv(u) = (x, y) - (x+2y)/5 (1, 2) = (3x-2y)/5 (-2x/5 + y/5) Agora, podemos verificar se w é ortogonal a v: w . v = (3x-2y)/5 * 1 + (-2x/5 + y/5) * 2 = 0 Portanto, w é ortogonal a v e é um vetor da base ortogonal de B. Podemos então normalizar w para obter o segundo vetor da base ortogonal: w' = w / ||w|| = (3/√13, -2/√13) Assim, a base ortogonal de B é {v', w'}. Agora, podemos encontrar as coordenadas de u em relação a essa base: u = a * v' + b * w' Substituindo as coordenadas de u e as bases ortogonais, temos: (x, y) = a * (1/√5, 2/√5) + b * (3/√13, -2/√13) Resolvendo o sistema de equações, encontramos: a = -2/√65 b = 11/√845 Portanto, as coordenadas de u em relação à base ortogonal {v', w'} são: u = (-2/√65) * (1, 2) + (11/√845) * (3, -2) = (3/√65, 4/√65) Assim, a alternativa correta é a letra C: u = (3, 2).