Utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de f através da fronteira da região D, sendo f: f = (y - x) + (z - y) + (y - x)k O...

Question

Utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de f através da fronteira da região D, sendo f: f = (y - x) + (z - y) + (y - x)k Onde D: o cubo limitado pelos planos x = ± 1,y=1ez=±1

Ed · Answer

Para encontrar o fluxo exterior de f através da fronteira da região D, utilizando o teorema da divergência, precisamos seguir os seguintes passos:

1. Calcular a divergência de f:
div(f) = ∂f/∂x + ∂f/∂y + ∂f/∂z
div(f) = (-1 + 1) + (1 - 1) + (1 - 1)
div(f) = 0

2. Aplicar o teorema da divergência:
∫∫S f.n dS = ∫∫∫D div(f) dV
Onde S é a superfície que limita a região D, n é o vetor normal à superfície e dS é o elemento de área da superfície.

Como queremos encontrar o fluxo exterior, podemos escolher a superfície S como sendo a fronteira do cubo D, que é formada por seis faces retangulares.

3. Calcular a integral tripla:
∫∫∫D div(f) dV = ∫-1¹ ∫-1¹ ∫-1¹ 0 dxdydz
∫∫∫D div(f) dV = 0

4. Calcular a integral de superfície:
∫∫S f.n dS = ∫∫S f.n dS = ∫∫S f.n dS = ∫∫S f.n dS = ∫∫S f.n dS = ∫∫S f.n dS = 0

Portanto, o fluxo exterior de f através da fronteira da região D é zero.

Utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de f através da fronteira da região D, sendo f: f = (y - x) + (z - y) + (y - x)k O...

Cálculo II

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