3. Considere o operador T : R3 → R3, dado por T (x, y, z) =  3 0 0 0 3 9 0 1 3  ·  x y z  . (a) [1,0 ponto] Determine o polinômio ca...

(a) Para encontrar o polinômio característico de T, basta calcular o determinante da matriz A = T - λI, onde I é a matriz identidade e λ é um escalar. Então: A =  3-λ 0 0 0 3-λ 9 0 1 3-λ  det(A) = (3-λ)[(3-λ)(3-λ) - 9] - 0 + 0 - 0 - (0 - 0) - 9(0 - 0) = (3-λ)[(λ-6)(λ-3)] Portanto, o polinômio característico de T é p(λ) = (3-λ)(λ-6)(λ-3). (b) Para encontrar os autovalores de T, basta igualar o polinômio característico a zero e resolver para λ: p(λ) = (3-λ)(λ-6)(λ-3) = 0 Logo, os autovalores de T são λ1 = 3, λ2 = 6 e λ3 = 3. (c) Para encontrar os autovetores de T, é necessário resolver o sistema de equações (T - λI)v = 0 para cada autovalor encontrado. Então: Para λ1 = 3: (T - 3I)v =  0 0 0 0 0 9 0 1 0  v =  x y z  Substituindo na equação (T - 3I)v = 0, temos:  0 0 0 0 0 9 0 1 0  ·  x y z  =  0 0 0  O que resulta no sistema de equações: y = 0 z = 0 Portanto, o autovetor correspondente a λ1 = 3 é v1 = (1, 0, 0). Para λ2 = 6: (T - 6I)v =  -3 0 0 0 -3 9 0 1 -3  v =  x y z  Substituindo na equação (T - 6I)v = 0, temos:  -3 0 0 0 -3 9 0 1 -3  ·  x y z  =  0 0 0  O que resulta no sistema de equações: -3x = 0 -3y + 9z = 0 y - 3z = 0 Resolvendo o sistema, encontramos que y = 3z e x = 0. Portanto, o autovetor correspondente a λ2 = 6 é v2 = (0, 3, 1). Para λ3 = 3: (T - 3I)v =  0 0 0 0 0 9 0 1 0  v =  x y z  Substituindo na equação (T - 3I)v = 0, temos:  0 0 0 0 0 9 0 1 0  ·  x y z  =  0 0 0  O que resulta no sistema de equações: y = 0 z = 0 Portanto, o autovetor correspondente a λ3 = 3 é v3 = (1, 0, 0). (d) Para T ser diagonalizável, é necessário que exista uma base de autovetores de R3. Como encontramos três autovetores linearmente independentes, podemos formar uma base de R3 com eles. Portanto, T é diagonalizável.