7. (a) Encontrar todos os pontos (x, y) do plano tais que |x| + |y| = 1. (b) Calcular a integral dupla ∫ B ∫ ex+ydA, onde B = {(x, y) ∈ R 2 : |x| +...

(a) Para encontrar todos os pontos (x, y) do plano tais que |x| + |y| = 1, podemos dividir em quatro casos: - Quando x ≥ 0 e y ≥ 0, temos x + y = 1. - Quando x ≥ 0 e y < 0, temos x - y = 1. - Quando x < 0 e y ≥ 0, temos -x + y = 1. - Quando x < 0 e y < 0, temos -x - y = 1. Resolvendo cada uma dessas equações, obtemos os seguintes pontos: - (1, 0), (0, 1), (-1, 0) e (0, -1) para o primeiro caso. - (1, -1), (0, -1) e (-1, -1) para o segundo caso. - (1, 1), (0, 1) e (-1, 1) para o terceiro caso. - (1, -1), (0, -1) e (-1, -1) para o quarto caso. Portanto, os pontos (x, y) que satisfazem a equação |x| + |y| = 1 são: (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1), (1, -1), (0, -1), (-1, -1), (1, 1), (0, 1) e (-1, 1). (b) Para calcular a integral dupla ∫ B ∫ ex+ydA, onde B = {(x, y) ∈ R 2 : |x| + |y| ≤ 3}, podemos utilizar coordenadas polares. Temos: ∫ B ∫ ex+ydA = ∫ 0^2π ∫ 0^3 (re^(rcosθ+rsenθ))rdrdθ Resolvendo a integral, obtemos: ∫ B ∫ ex+ydA = (e^3 - e^-3)∫ 0^2π (1/2)sinh(3r(sinθ+cosθ))dθ Portanto, a integral dupla ∫ B ∫ ex+ydA é igual a (e^3 - e^-3)∫ 0^2π (1/2)sinh(3r(sinθ+cosθ))dθ.