Calcular a integral em que T é a região de integração interior ao cilindro x² + y² = 1 e à esfera x² +y² +z² =4 (fazer a transformação para o sis...

Para resolver essa integral, podemos utilizar coordenadas esféricas, que são mais adequadas para a região de integração dada. Primeiro, vamos escrever as equações das superfícies em coordenadas esféricas: - Cilindro: $x^2 + y^2 = 1$ pode ser reescrito como $r^2 \sin^2\theta = 1$, onde $r$ é a distância do ponto ao eixo $z$ e $\theta$ é o ângulo em relação ao eixo $z$. - Esfera: $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ pode ser reescrito como $r^2 = 4$, onde $r$ é a distância do ponto à origem. A região de integração é a interseção dessas duas superfícies, ou seja, $1 \leq r \leq 2$ (pois o cilindro tem raio 1 e a esfera tem raio 2) e $0 \leq \theta \leq 2\pi$ (pois a região de integração é simétrica em relação ao eixo $z$). A integral a ser calculada é: $$\iiint_T z^2 dV$$ Em coordenadas esféricas, temos: $$dV = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$$ Substituindo $z = r\cos\phi$, temos: $$\iiint_T z^2 dV = \iiint_T r^2 \cos^2\phi r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$$ Integrando em relação a $r$ primeiro, temos: $$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_1^2 r^4 \cos^2\phi \sin\theta dr d\theta d\phi$$ Integrando em relação a $\theta$ e $\phi$, temos: $$\frac{32\pi}{15}$$ Portanto, a integral vale $\frac{32\pi}{15}$.