Questão resolvida - A reta normal ao elipsoide x^2_16+y^2_4+z^2_12=1 no ponto (2,1,raiz(6)) - AEDB

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• A reta normal ao elipsoide no ponto .+ + = 1
x
16
2 y
4
2 z
12
2
(2, 1, )6
Resolução:
 
A equação da reta normal em relação a uma curva em um ponto é dada por:p x , y , z( 0 0 0)
 
r : x, y, z = x , y , z + t a, b, c( ) ( 0 0 0) ( )
 
a, b, c é o vetor diretor da reta normal e = 𝛻f, ou seja, é igual ao vetor gradiente no ponto( ) v v
 à curva f. O vator gradiente é fornecido pela expressão : 𝛻f x, y, z = , ,( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
𝜕f
𝜕z
Assim, primeiro vamos achar as derivadas parciais :
 = = ; = = ; = =
𝜕f
𝜕x
2x
16
x
8
𝜕f
𝜕y
2y
4
y
2
𝜕f
𝜕z
2z
12
z
6
 
Com isso, o vetor gradiente fica : 𝛻f x, y, z = , ,( )
x
8
y
2
z
6
No ponto P (2, 1, ) o vetor gradiente é : 6
𝛻f(2, 1, ) = , , 𝛻f(2, 1, ) = , ,6
2
8
1
2 6
6
→ 6
1
4
1
2 6
6
 
Como 𝛻f(2, 1, ) = ; a reta normal fica :6 v
 
r : x, y, z = (2, 1, ) + t , , r : x, y, z = (2, 1, ) + t, t, t( ) 6
1
4
1
2 6
6
→ ( ) 6
1
4
1
2 6
6
 
Reta normal r : x, y, z = 2+ t, 1+ t, + t→ ( )
1
4
1
2
6
6
6
 
 
(Resposta )