8. Marque apenas a alternativa correta: Qual o gradiente da função z=xy^2+yx^2 no ponto (1,2) e qual o valor máximo da derivada direcional neste po...

Vamos analisar as opções fornecidas: O gradiente da função z=xy^2+yx^2 no ponto (1,2) é dado por (∂z/∂x, ∂z/∂y) e a derivada direcional máxima é dada por ||∇f||, onde ∇f é o gradiente da função. Agora, vamos calcular o gradiente da função z=xy^2+yx^2 no ponto (1,2): ∂z/∂x = y^2 + 2yx ∂z/∂y = 2xy + x^2 Avaliando no ponto (1,2): ∂z/∂x = 2 + 4 = 6 ∂z/∂y = 4 + 1 = 5 Portanto, o gradiente da função no ponto (1,2) é 6i + 5j. Agora, vamos calcular o valor máximo da derivada direcional neste ponto: ||∇f|| = √(6^2 + 5^2) = √(36 + 25) = √61 Assim, a opção correta é: 8i ⃗+5j ⃗ e √61 Portanto, a alternativa correta é a primeira: 8i ⃗+5j ⃗ e √61.