Corolário 14. Suponhamos que as funções f e g sejam contínuas no intervalo fechado [a, b], deriváveis no intervalo aberto (a, b) e que f ′(x) = g′(x), para todo x ∈ (a, b). Então existe uma constante C tal que f(x) = g(x) + C para todo x ∈ [a, b]. Demonstração. Basta observar que f ′(x) = g′(x), para todo x ∈ (a, b) é equivalente a (f − g)′(x) = 0, para todo x ∈ (a, b). Logo, pelo corolário anterior, f−g é constante em [a, b], ou seja, existe uma constante C tal que f(x) − g(x) = C, para qualquer x ∈ [a, b], o que conclui a demonstração do corolário. 2 A derivada de uma função pode existir em um certo intervalo [a, b] sem que ela seja contínua em [a, b]. No entanto, mesmo que f ′ não seja contínua, existe um Teorema do Valor Médio para Derivadas o qual será demonstrado com o auxílio do seguinte lema. Lema 6. Seja f uma função derivável em [a, b] com f ′(a) < 0 e f ′(b) > 0. Então existe δ > 0 tal que f(x) < f(a) para a < x < a+ δ e f(x) < f(b) para b− δ < x < b. Demonstração. Suponhamos que f ′(a) < 0 e que, para cada n ∈ N exista a < xn < a+ 1n tal que f(xn) ≥ f(a). Assim, f(xn)− f(a)xn − a ≥ 0 e desde que f ′(a) existe, teremos f ′(a) ≥ 0 o que contradiz a hipótese f ′(a) < 0. Isso demonstra a primeira parte do lema. A outra parte é feita de maneira análoga. 2 Teorema 56. (Teorema do Valor Intermediário para Derivadas.) Suponhamos que f seja derivável em [a, b], f ′(a) ̸= f ′(b) e µ seja um número real entre f ′(a) e f ′(b). Então f ′(c) = µ para algum µ ∈ [a, b]. Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos supor que f ′(a) < µ < f ′(b) e definamos g(x) = f(x)− µx, para x ∈ [a, b]. Daí, g′(a) = f ′(a)− µ < 0 e g′(b) = f(b)− µ > 0. Como g é contínua em [a, b], g atinge mínimo em algum c ∈ [a, b]. Pelo lema 6, existe δ > 0 tal que g(x) < g(a), a < x < a+ δ e g(x) < g(b), b− δ < x < b. Consequentemente, c ̸= a e c ̸= b. Portanto, a < c < b e assim g′(c) = 0, ou seja, f ′(c) = µ. 2 Definição 60. Diz-se que f : I → R é crescente (decrescente) em I se x, y ∈ I com x < y implica que f(x) < f(y)(f(x) > f(y). Definição 61. Diz-se que f : I → R é não-decrescente (não-crescente) em I se x, y ∈ I com x < y implica que f(x) ≤ f(y)(f(x) ≥ f(y). O teorema seguinte, relativo à funções deriváveis em intervalos, estabelece uma relação entre o sinal da derivada e o crescimento de uma função. Teorema 57. Seja f uma função real derivável em um intervalo aberto I. (a) Se f ′(c) > 0, para todo x ∈ I, então f é crescente em I. (b) Se f ′(c) < 0, para todo x ∈ I, então f é decrescente em I. Demonstração. (a) Demonstraremos somente a parte (a). A demonstração da parte (b) é análoga. Suponhamos que f ′(c) > 0 para todo x ∈ I. Sejam a, b ∈ I com a < b. Aplicando o teorema do valor médio para f no intervalo [a, b], encontramos c ∈ (a, b) com f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a). Como f ′(c) > 0 e b−a > 0, segue que f(b)−f(a) > 0, isto é, f(b) > f(a). Portanto, f é crescente. 2 Exemplo 88. A função f(x) = x5 + 20x− 6 é crescente para todos os valores de x ∈ R. De fato, basta observar que f ′(x) = 5x4 + 20 > 0 para todo x ∈ R. Exemplo 89. A função f(x) = 1− x3 − x7 é uma função decrescente para todos os valores de x ∈ R. Solução. Observemos que f ′(x) = −3x2 − 7x6 < 0 para todo x ̸= 0. Assim, f é decrescente nos intervalos (−∞, 0) e (0,+∞). Além disso, se x < 0, tem-se que f(x) > 1 = f(0) e, se x > 0, tem-se f(0) = 1 > f(x). Então f é decrescente em R. Exemplo 90. A função f(x) = 4x3 + x− 3 possui apenas um zero. Solução. De fato, como f(0) = −3 e f(1) = 2, pelo teorema do valor intermediário, existe um ponto x ∈ R tal que f(x) = 0. Desde que f ′(x) = 12x2 + 1 > 0, tem-se que f é crescente em todo o R. Então f não pode ter dois valores reais x para os quais f(x) = 0. O próximo corolário fornece uma maneira de encontrar pontos de máximo ou de mínimo relativos de funções deriváveis definidas em intervalos. Corolário 15. (Teste da Derivada Primeira) Sejam f : [a, b] → R uma função contínua e derivável no intervalo aberto (a, b) e c ∈ (a, b) um ponto crítico de f . (i) Se existir um intervalo aberto (c− r, c+ r) ⊂ (a, b) tal que f ′(x) ≥ 0 para x ∈ (c− r, c) e f ′(x) ≤ 0 para x ∈ (c, c+ r) então f possui um máximo relativo em c. (ii) Se existir um intervalo aberto (c− r, c+ r) ⊂ (a, b) tal que f ′(x) ≤ 0 para x ∈ (c− r, c) e f ′(x) ≥ 0 para x ∈ (c, c+ r) então f possui um mínimo relativo em c. Demonstração. Demonstremos o item (i). A demonstração do item (ii) é feita de maneira análoga e será deixada como exercício. Como f ′(x) ≥ 0, para todo x ∈ (c− r, c) segue do teorema anterior que f é não-decrescente em (c−r, c) e, portanto, será também não-decrescente no intervalo (c−r, c]. Logo, f(x) ≤ f(c) para todo x ∈ (c−r, c). Agora, segue de f ′(x) ≤ 0, para x ∈ (c, c + r) que que f é não-crescente e [c, c + r). Assim, f(x) ≤ f(c), para qualquer x ∈ (c, c+ r). Emtão c é ponto de máximo local de f . 2 Teorema 58. (Teste da Derivada Segunda) Seja f : (a, b) → R uma função de classe C2, isto é, a derivada segunda de f, f ′′ : (a, b) → R, existe e é contínua. Suponhamos que c ∈ (a, b) seja um ponto crítico de f . (i) Se f ′′(c) < 0 então c é ponto de máximo local (ii) Se f ′′(c) > 0 então c é ponto de mínimo local. Demonstração. Façamos a demonstração do item (i). Desde que f ′′ : (a, b) → R é uma função contínua e f ′′(c) < 0, existirá r > 0 tal que (c − r, c + r) ⊂ (a, b) e f ′′(x) < 0, para todo x ∈ (c − r, c + r). Ora, f ′(c) = 0 e f ′ é decrescente em (c − r, c + r), pois a segunda derivada de f, que é a derivada da derivada primeira, é negativa no referido intervalo. Portanto, se x ∈ (c − r, c) tem-se f ′(x) > 0 e, se x ∈ (c, c + r), tem-se f ′(x) < 0. Assim, c é ponto de máximo local de f. 2