O conhecimento de valores máximos ou mínimos das funções envolvidas em um modelo matemático é um aspecto relevante em várias das aplicações do Cálc...

O conhecimento de valores máximos ou mínimos das funções envolvidas em um modelo matemático é um aspecto relevante em várias das aplicações do Cálculo. Por exemplo, se o lucro obtido com a fabricação e a venda de x unidades de um produto é dado por uma função ( )xL , formada a partir das receitas (várias formas de venda do produto), dos custos fixos (aluguel, impostos etc.) e dos custos variáveis (energia elétrica, água, insumos), então é de interesse do fabricante conhecer as situações em que seu lucro é máximo ou suas despesas são mínimas, de acordo com a quantidade de produto que ele fabrica ou pode fabricar. O conhecimento dessas situações permite que decisões sejam tomadas e estratégias sejam formuladas, a bem do negócio. Podemos citar outros exemplos simples, que aparecem com frequência nos primeiros cursos de Cálculo: a) encontrar as dimensões de uma caixa de base quadrada (uma embalagem) com dado volume de modo a minimizar a quantidade de material (área lateral) a ser utilizado para construí-la; b) determinar o deslocamento máximo de um objeto quando lançado em uma dada direção com certa velocidade inicial e sobre a ação de seu próprio peso e de uma força de resistência; c) determinar a maior área retangular que se pode cercar com uma quantidade determinada de arame. Problemas desse tipo, que têm como objetivo principal a determinação de valores máximos ou mínimos, são chamados de problemas de otimização. Muitos deles são formulados matematicamente da seguinte forma. Uma função derivável ( )xf é definida para todo x em certo intervalo I e deseja-se determinar, caso existam, os valores máximo absoluto )( MxfM = e mínimo absoluto )( mxfm = , bem como os respectivos pontos, Mx e mx , em que eles são atingidos.