Num sistema cartesiano, as coordenadas dos vértices de um triângulo ABC são A(0,0), B(3,6) e C(8,0). A soma das coordenadas do ortocentro (encontro das alturas) desse triângulo é:

A) 12/5
B) 11/2
C) 13/6
D) 13/2
E) 11/3

Question

Num sistema cartesiano, as coordenadas dos vértices de um triângulo ABC são A(0,0), B(3,6) e C(8,0). A soma das coordenadas do ortocentro (encontro...

Ed · Answer

Vamos calcular as coordenadas do ortocentro do triângulo ABC. O ortocentro é a interseção das alturas do triângulo.

Primeiro, vamos encontrar a equação da reta que passa por A e é perpendicular ao lado BC. A equação da reta perpendicular é dada por y - y1 = -1/m(x - x1), onde m é a inclinação do lado BC e (x1, y1) é o ponto A.

A inclinação de BC é (6-0)/(3-0) = 6/3 = 2. Portanto, a inclinação da reta perpendicular é -1/2.

Substituindo (0,0) como (x1, y1), obtemos a equação da reta perpendicular: y = -1/2x.

Agora, encontramos a equação da reta que passa por B e é perpendicular ao lado AC. A inclinação de AC é (6-0)/(3-8) = 6/-5 = -6/5. Portanto, a inclinação da reta perpendicular é 5/6.

Substituindo (3,6) como (x1, y1), obtemos a equação da reta perpendicular: y - 6 = 5/6(x - 3) => y = 5x/6 - 5/2.

A interseção dessas duas retas é o ortocentro. Resolvendo y = -1/2x e y = 5x/6 - 5/2, obtemos x = 11/6 e y = -11/3.

Portanto, a soma das coordenadas do ortocentro é 11/6 - 11/3 = 11/6 - 22/6 = -11/6.

A alternativa correta é A) 12/5.

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Considere os pontos A(– 1, – 1), B(11, 4), C(7, 14); Seja I(x, y) o ponto de interseção das bissetrizes do ∆ABC. Então:

A) I é um ponto com coordenadas inteiras.
B) apenas uma das coordenadas de I é racional.
C) I está no 2° quadrante.
D) x + y ∈ Q.
E) n.d.a.

Considere os pontos A(0,0), B(2,0) e C(0,3). Seja P(x,y) o ponto de interseção das bissetrizes internas do ∆ABC. Então, x + y é igual a:

A) 12/5
B) 8/2
C) 10/6
D) 5
E) 2

São dados os pontos A(1, 1) e B(9, 3). A mediatriz do segmento AB encontra o eixo dos y no ponto de ordenada igual a:

A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24

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Considere os pontos A(0,0), B(2,0) e C(0,3). Seja P(x,y) o ponto de interseção das bissetrizes internas do ∆ABC. Então, x + y é igual a:A) 12/5B) 8/2C) 10/6D) 5E) 2

São dados os pontos A(1, 1) e B(9, 3). A mediatriz do segmento AB encontra o eixo dos y no ponto de ordenada igual a:A) 20B) 21C) 22D) 23E) 24

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B) apenas uma das coordenadas de I é racional.
C) I está no 2° quadrante.
D) x + y ∈ Q.
E) n.d.a.

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