Exemplo 3: Sejam ???? = −5, 1, 2 e ???? = 0, 1, 6 . a) Determine a equação da reta ???? que contém os pontos ???? e ????. b) Determine dois vetores diretores...

Para determinar a equação da reta que contém os pontos \( P(-5, 1, 2) \) e \( Q(0, 1, 6) \), podemos usar a fórmula da equação vetorial da reta, que é dada por: \[ \vec{r} = \vec{v} + t\vec{u} \] Onde \( \vec{r} \) é um ponto genérico da reta, \( \vec{v} \) é um ponto conhecido na reta e \( \vec{u} \) é um vetor diretor da reta. Para encontrar \( \vec{u} \), podemos usar os pontos \( P \) e \( Q \): \[ \vec{u} = \vec{PQ} = \begin{bmatrix} 0 - (-5) \\ 1 - 1 \\ 6 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix} \] Assim, a equação vetorial da reta que passa por \( P \) e \( Q \) é: \[ \vec{r} = \begin{bmatrix} -5 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 5 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix} \] Para determinar dois vetores diretores de \( r \), podemos escolher dois vetores não colineares a \( \vec{u} \), por exemplo, \( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \) e \( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \). Para provar que o ponto médio do segmento \( PQ \) pertence à reta \( r \), podemos calcular o ponto médio de \( PQ \) e verificar se ele satisfaz a equação da reta \( r \).