1) Domínio, continuidade e diferenciabilidade da função Esta é uma função racional, portanto contínua e diferenciável em todos os pontos de seu dom...

1) Domínio, continuidade e diferenciabilidade da função Esta é uma função racional, portanto contínua e diferenciável em todos os pontos de seu domínio. { 1,1}Dom f = − − . 2) Interseção do gráfico de f com os eixos coordenados (0) 0f = . Logo o gráfico intercepta o eixo Oy no ponto (0,0) . Temos ( ) 0 4 0 0f x x x= ⇔ = ⇔ = . Logo o gráfico intercepta o eixo Ox apenas no ponto (0,0) . 3) Simetrias do gráfico de f 2 2 4( ) 4( ) ( ) ( ) 1 1 x xf x f x x x − − = = − = − − − x Dom f∀ ∈ e, portanto, a função f ímpar. Logo, o gráfico de f é simétrico em relação à origem (0,0) . 4) Pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento de f Temos 2 2 2 2 2 2 4( 1) 4 (2 ) 4 4 1'( ) ( 4) ( 1) ( 1) x x x x xf x x x − − − − + = = = − − − . Como '( ) 0,f x x Dom f≠ ∀ ∈ e 'Dom f Dom f= , conclui-se que f não possui pontos críticos. Analisemos o comportamento da função f nos intervalos ( , 1)−∞ − , ( 1,1)− e +∞(1, ) . Em −∞ − ∪ − ∪ +∞( , 1) ( 1,1) (1, ) 'f é sempre negativa e, portanto, f é decrescente em ( , 1)−∞ − , em ( 1,1)− e em +∞(1, ) . 5) Pontos de máximo e mínimo de f A função f não apresenta tais pontos, pois não há pontos críticos. 6) Concavidade e pontos de inflexão do gráfico de f Temos 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 ( 8 )( 1) (4 4)2( 1)2 ( 1)[( 8 )( 1) 4 (4 4)]( ) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x xf x x x − − + + − − − − + + = = = − − 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 ( 1)[( 8 )( 1) 16 ( 1)] 8 [( 1)( 1) 2( 1)] 8 ( 3) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x x x − − − + + − − + + = = = − − . Então ( ) 0 0f x x= ⇔ = . Assim, (0, 0) é candidato a ponto de inflexão. Em 2 ( , 1)− ∈ −∞ − , − − + − = = − < − 2 2 3 8( 2)(( 2) 3) 112( 2) 0 (( 2) 1) 3 f e, portanto, ( )f x é negativa em ( , 1)−∞ − . Assim, o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo nesse intervalo. Em ( 1,0)− f é positiva e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima nesse intervalo. Em (0,1) f é negativa e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo nesse intervalo. Em (1, )∞ f é positiva e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima sobre esse intervalo. Como = −(0) 4f , existe reta tangente ao gráfico de f no ponto (0,0) . Então o ponto (0,0) é o único ponto de inflexão do gráfico de f. 7) Valores máximos e mínimos de f A função não possui valores máximos e mínimos relativos, nem absolutos, pois não possui pontos de máximos e mínimos relativos, nem absolutos. 8) Assíntotas verticais e horizontais de f Temos → = −∞ −21 4lim 1x x x e +→ = +∞ −21 4lim 1x x x. Então a reta 1x = − é uma assíntota vertical do gráfico de f. Temos → = −∞ −21 4lim 1x x x e +→ = +∞ −21 4lim 1x x x. Então a reta 1x = é uma assíntota vertical do gráfico de f. Temos 2 4 4lim lim 0 1 2x x x x x x→+∞ →+∞ = = − e →−∞ = −2 4lim 0 1x x x. Então a reta 0y = é a única assíntota horizontal do gráfico de f. O esboço do gráfico está a seguir. x y -1 1 0

c) 2
d) ( ) 2f x x x= −