O emprego de mudanças de coordenadas em integrais triplas exige a identificação do jacobiano associado à transformação, relacionando as variáveis d...

Para identificar o jacobiano associado à transformação descrita, precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana. A matriz jacobiana é dada pelas derivadas parciais das novas coordenadas em relação às coordenadas originais. Dadas as transformações: x = v + w² y = w + u² z = u + v² As derivadas parciais são: ∂x/∂u = 0 ∂x/∂v = 1 ∂x/∂w = 2w ∂y/∂u = 2u ∂y/∂v = 0 ∂y/∂w = 1 ∂z/∂u = 1 ∂z/∂v = 2v ∂z/∂w = 0 O jacobiano J é o determinante da matriz jacobiana, que é dado por: J = ∂(x,y,z) / ∂(u,v,w) = ∂x/∂u * ∂y/∂v * ∂z/∂w + ∂y/∂u * ∂z/∂v * ∂x/∂w + ∂z/∂u * ∂x/∂v * ∂y/∂w - ∂z/∂u * ∂y/∂v * ∂x/∂w - ∂y/∂u * ∂x/∂v * ∂z/∂w - ∂x/∂u * ∂z/∂v * ∂y/∂w Calculando as derivadas parciais e o jacobiano, temos: J = 1 * 1 * 0 + 2u * 2v * 2w + 1 * 1 * 2w - 1 * 2v * 2w - 2u * 1 * 0 - 1 * 1 * 2w J = 8uwv + 2w - 4vw - 0 - 0 J = 8uvw + 2w - 4vw Portanto, o jacobiano associado à transformação descrita é J = 8uvw + 2w - 4vw, que corresponde à alternativa: C) J = 1 + 8uvw.