O emprego de mudanças de coordenadas em integrais triplas exige a identificação do jacobiano associado à transformação, relacionando as variáveis do sistema de coordenadas original, que em geral consiste em coordenadas cartesianas, com as variáveis do novo sistema.
Considere as mudanças, com base no sistema de coordenadas cartesianas, dadas por
x = v + w² , y = w + u² , z = u + v²
e que
Assinale a alternativa que indica o jacobiano associado à transformação descrita:
A) J = 1+ 2uvw.
B) J = 1.
C) J = 1+ 8uvw.
D) J = 8uvw.
E) J = 0.

Question

O emprego de mudanças de coordenadas em integrais triplas exige a identificação do jacobiano associado à transformação, relacionando as variáveis d...

Ed · Answer

Para encontrar o jacobiano da transformação dada, precisamos calcular a matriz jacobiana, que é composta pelas derivadas parciais das novas variáveis em relação às variáveis originais.

As variáveis são definidas como:
- $ x = v + w^2 $
- $ y = w + u^2 $
- $ z = u + v^2 $

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:

1. **Derivadas de $ x $**:
   - $ \frac{\partial x}{\partial v} = 1 $
   - $ \frac{\partial x}{\partial w} = 2w $
   - $ \frac{\partial x}{\partial u} = 0 $

2. **Derivadas de $ y $**:
   - $ \frac{\partial y}{\partial v} = 0 $
   - $ \frac{\partial y}{\partial w} = 1 $
   - $ \frac{\partial y}{\partial u} = 2u $

3. **Derivadas de $ z $**:
   - $ \frac{\partial z}{\partial v} = 2v $
   - $ \frac{\partial z}{\partial w} = 0 $
   - $ \frac{\partial z}{\partial u} = 1 $

Agora, montamos a matriz jacobiana $ J $:

$$
J = \begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial x}{\partial u} \
\frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial u} \
\frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} & \frac{\partial z}{\partial u}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2w & 0 \
0 & 1 & 2u \
2v & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o jacobiano:

$$
\text{det}(J) = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2u \cdot 0) - 2w \cdot (0 \cdot 1 - 2u \cdot 2v) + 0 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 2v)
$$
$$
= 1 - 2w(-4uv) = 1 + 8uvw
$$

Portanto, o jacobiano associado à transformação é:

**J = 1 + 8uvw.**

Assim, a alternativa correta é: **C) J = 1 + 8uvw.**

Ed · Answer

Para identificar o jacobiano associado à transformação descrita, precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana. A matriz jacobiana é dada pelas derivadas parciais das novas coordenadas em relação às coordenadas originais.

Dadas as transformações:
x = v + w²
y = w + u²
z = u + v²

As derivadas parciais são:
∂x/∂u = 0
∂x/∂v = 1
∂x/∂w = 2w

∂y/∂u = 2u
∂y/∂v = 0
∂y/∂w = 1

∂z/∂u = 1
∂z/∂v = 2v
∂z/∂w = 0

O jacobiano J é o determinante da matriz jacobiana, que é dado por:
J = ∂(x,y,z) / ∂(u,v,w) = ∂x/∂u * ∂y/∂v * ∂z/∂w + ∂y/∂u * ∂z/∂v * ∂x/∂w + ∂z/∂u * ∂x/∂v * ∂y/∂w - ∂z/∂u * ∂y/∂v * ∂x/∂w - ∂y/∂u * ∂x/∂v * ∂z/∂w - ∂x/∂u * ∂z/∂v * ∂y/∂w

Calculando as derivadas parciais e o jacobiano, temos:
J = 1 * 1 * 0 + 2u * 2v * 2w + 1 * 1 * 2w - 1 * 2v * 2w - 2u * 1 * 0 - 1 * 1 * 2w
J = 8uwv + 2w - 4vw - 0 - 0
J = 8uvw + 2w - 4vw

Portanto, o jacobiano associado à transformação descrita é J = 8uvw + 2w - 4vw, que corresponde à alternativa:

C) J = 1 + 8uvw.

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