Para determinar o valor de sete vezes o cosseno do ângulo formado entre os planos, precisamos primeiro encontrar os vetores normais de cada plano. 1. Plano π: A equação do plano é \(2x + y - 2z + 3 = 0\). O vetor normal \( \vec{n_1} \) é dado pelos coeficientes de \(x\), \(y\) e \(z\): \[ \vec{n_1} = (2, 1, -2) \] 2. Plano u: A equação do plano é dada por \(x = 1 + a + y\), \(y = 2 + 2a - y\) e \(z = a - y\). Para encontrar o vetor normal, precisamos reescrever as equações. Vamos expressar \(y\) e \(z\) em função de \(x\) e \(a\): - Da primeira equação, temos \(y = x - 1 - a\). - Substituindo na segunda, temos \(x - 1 - a = 2 + 2a - (x - 1 - a)\), que simplifica para \(2x - 1 - 3a = 3\), ou seja, \(2x - 3a = 4\), resultando em \(x = 2 + \frac{3a}{2}\). - Para \(z\), substituindo \(y\) na terceira equação, temos \(z = a - (x - 1 - a) = 2a - x + 1\). Agora, podemos encontrar o vetor normal do plano \(u\). A partir das equações, podemos deduzir que o vetor normal \( \vec{n_2} \) é: \[ \vec{n_2} = (1, -1, 1) \] 3. Cálculo do cosseno do ângulo: O cosseno do ângulo \( \theta \) entre os dois planos é dado pela fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \] - Primeiro, calculamos o produto escalar \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} \): \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (1)(-1) + (-2)(1) = 2 - 1 - 2 = -1 \] - Agora, calculamos as magnitudes: \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] - Agora, substituímos na fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{-1}{3\sqrt{3}} \] 4. Valor de sete vezes o cosseno: \[ 7 \cos(\theta) = 7 \left(\frac{-1}{3\sqrt{3}}\right) = \frac{-7}{3\sqrt{3}} \] Portanto, o valor de sete vezes o cosseno do ângulo formado entre os planos é: \[ \frac{-7}{3\sqrt{3}} \]