Para resolver essa questão, vamos analisar a informação dada na equação dada: \(A^2 = -2A^T\), onde \(A\) é uma matriz quadrada de ordem 3 invertível e \(A^T\) representa a transposta de \(A\). Sabemos que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta, ou seja, \(det(A) = det(A^T)\). Dado que \(A^2 = -2A^T\), podemos multiplicar ambos os lados da equação por \(A^{-1}\) (a inversa de \(A\)) para obter: \(A = -2A^T A^{-1}\). Multiplicando ambos os lados por \(A\) e rearranjando a equação, obtemos: \(det(A) = -2 det(A^T) det(A^{-1})\). Como \(det(A) = det(A^T)\), podemos substituir na equação acima: \(det(A) = -2(det(A))^2\). Agora, podemos resolver essa equação quadrática para encontrar o determinante de \(A\). Vamos calcular: \(det(A) = -2(det(A))^2\) \(det(A) + 2(det(A))^2 = 0\) \(det(A)(1 + 2det(A)) = 0\) Portanto, temos duas possibilidades: \(det(A) = 0\) ou \(1 + 2det(A) = 0\). Se \(det(A) = 0\), então a matriz \(A\) é singular, o que contradiz a informação dada de que \(A\) é invertível. Portanto, a única opção válida é \(1 + 2det(A) = 0\), o que nos leva a \(det(A) = -\frac{1}{2}\). Assim, o determinante da matriz \(A\) é -1/2. Portanto, a alternativa correta é d) -2.