12. Qual é a integral indefinida de \frac{1}{x \ln(x)}? a) \ln|\ln(x)| + C b) \ln|x| + C c) \frac{\ln(x)}{x} + C d) \frac{1}{\ln(x)} + C

Para resolver essa integral indefinida, é importante lembrar das propriedades dos logaritmos e das integrais. Vamos analisar a expressão \(\frac{1}{x \ln(x)}\): Podemos reescrever a expressão como \(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln(x)}\). Em seguida, podemos separar em duas integrais: \(\int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln(x)} \,dx\) Utilizando a propriedade \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \,dx = \ln|f(x)| + C\), onde \(f(x)\) é a função no denominador, podemos integrar \(\frac{1}{\ln(x)}\): \(\int \frac{1}{\ln(x)} \,dx = \ln|\ln(x)| + C\) Agora, voltando à expressão original, temos: \(\int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln(x)} \,dx = \ln|\ln(x)| + C\) Portanto, a resposta correta é a alternativa: a) \(\ln|\ln(x)| + C\)