- Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \)? - A) \( \frac{1}{3} \) - B) \( \frac{1}{2} \) - C) 0 - D) \( \frac{1}{4} \)

Para resolver a integral dada \( \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \), primeiro é necessário integrar termo a termo. A integral de \( x^4 \) é \( \frac{x^5}{5} \), a integral de \( -2x^2 \) é \( -\frac{2x^3}{3} \) e a integral de 1 é \( x \). Então, a integral dada se torna \( \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x \right] \) avaliada de 0 a 1. Substituindo os limites de integração, obtemos: \( \left[ \frac{1^5}{5} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1 \right] - \left[ \frac{0^5}{5} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 0 \right] \) \( = \left[ \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 \right] - \left[ 0 - 0 + 0 \right] \) \( = \left[ \frac{1}{5} - \frac{10}{15} + 1 \right] \) \( = \left[ \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 \right] \) \( = \left[ \frac{3}{15} - \frac{10}{15} + \frac{15}{15} \right] \) \( = \left[ \frac{3 - 10 + 15}{15} \right] \) \( = \left[ \frac{8}{15} \right] \) Portanto, o valor da integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \) é \( \frac{8}{15} \). Assim, a alternativa correta é D) \( \frac{1}{4} \).