Determine o valor da integral \( \int_0^1 (x^2 + 1) e^x \, dx \). A) \( e - 1 \) B) \( e - 2 \) C) \( e - 3 \) D) \( e - 4 \)

Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes. Vamos calcular passo a passo: \[ \int_0^1 (x^2 + 1) e^x \, dx \] Integrando por partes, temos: \[ u = x^2 + 1 \quad \Rightarrow \quad du = 2x \, dx \] \[ dv = e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = e^x \] Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] \[ \int (x^2 + 1) e^x \, dx = (x^2 + 1)e^x - \int e^x \cdot 2x \, dx \] \[ = (x^2 + 1)e^x - 2\int x e^x \, dx \] Integrando \(\int x e^x \, dx\) por partes novamente, temos: \[ u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx \] \[ dv = e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = e^x \] Aplicando a fórmula de integração por partes novamente: \[ \int x e^x \, dx = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x \] Substituindo de volta na integral original: \[ \int_0^1 (x^2 + 1) e^x \, dx = (x^2 + 1)e^x - 2(xe^x - e^x) \] Agora, vamos avaliar a integral no intervalo de 0 a 1: \[ = [(1^2 + 1)e^1 - 2(1e^1 - e^1)] - [(0^2 + 1)e^0 - 2(0e^0 - e^0)] \] \[ = (2e - 2e + 2) - (1 - 2) = 2 \] Portanto, o valor da integral é 2. A alternativa correta não está presente nas opções fornecidas.