Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes. Vamos considerar \( u = e^{2x} \) e \( dv = \sin(3x) \, dx \). Calculando as derivadas e integrais: \( du = 2e^{2x} \, dx \) e \( v = -\frac{1}{3}\cos(3x) \). Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int e^{2x} \sin(3x) \, dx = -\frac{e^{2x}}{3}\cos(3x) - \int -\frac{2}{3}e^{2x}\cos(3x) \, dx \] \[ = -\frac{e^{2x}}{3}\cos(3x) + \frac{2}{3}\int e^{2x}\cos(3x) \, dx \] Agora, repetimos o processo para a nova integral \( \int e^{2x}\cos(3x) \, dx \), considerando \( u = e^{2x} \) e \( dv = \cos(3x) \, dx \). Calculando as derivadas e integrais: \( du = 2e^{2x} \, dx \) e \( v = \frac{1}{3}\sin(3x) \). Aplicando a fórmula de integração por partes novamente: \[ \int e^{2x}\cos(3x) \, dx = \frac{e^{2x}}{3}\sin(3x) - \int \frac{2}{3}e^{2x}\sin(3x) \, dx \] \[ = \frac{e^{2x}}{3}\sin(3x) - \frac{2}{3}\int e^{2x}\sin(3x) \, dx \] Substituindo de volta na primeira integral, temos: \[ \int e^{2x} \sin(3x) \, dx = -\frac{e^{2x}}{3}\cos(3x) + \frac{2}{3}\left( \frac{e^{2x}}{3}\sin(3x) - \frac{2}{3}\int e^{2x}\sin(3x) \, dx \right) \] Simplificando e resolvendo a equação resultante, encontramos que a resposta correta é: A) \( \frac{e^{2x}}{13}(3\sin(3x) - 2\cos(3x)) + C \)