Para encontrar a direção na qual a função \( p(x, y) = 5x^2 - 2xy \) cresce mais rapidamente, precisamos calcular o vetor gradiente \( \nabla p \). 1. Calcule as derivadas parciais: - \( \frac{\partial p}{\partial x} = 10x - 2y \) - \( \frac{\partial p}{\partial y} = -2x \) 2. Forme o vetor gradiente: \[ \nabla p(x, y) = \left(10x - 2y, -2x\right) \] 3. Norma do vetor gradiente: A norma do vetor gradiente, que representa a taxa máxima de aumento da função, é dada por: \[ \|\nabla p\| = \sqrt{(10x - 2y)^2 + (-2x)^2} \] 4. Interpretação: A direção do vetor gradiente \( \nabla p \) indica a direção de crescimento mais rápido da densidade \( p(x, y) \) na placa retangular. A norma \( \|\nabla p\| \) fornece a taxa máxima de aumento da densidade nesse ponto. Assim, você pode usar o vetor gradiente para determinar tanto a direção quanto a taxa de crescimento da função \( p(x, y) \) em qualquer ponto da placa.