1.16 Encontre todos os α ∈ R tais que os vetores u = 2αi − 2 j − k e v = 2αi + 3α j − 2k são perpendiculares.

Para que os vetores \( u \) e \( v \) sejam perpendiculares, o produto escalar deles deve ser igual a zero. Os vetores são: - \( u = 2\alpha i - 2j - k \) - \( v = 2\alpha i + 3\alpha j - 2k \) O produto escalar \( u \cdot v \) é dado por: \[ u \cdot v = (2\alpha)(2\alpha) + (-2)(3\alpha) + (-1)(-2) \] Calculando: \[ u \cdot v = 4\alpha^2 - 6\alpha + 2 \] Para que os vetores sejam perpendiculares, devemos ter: \[ 4\alpha^2 - 6\alpha + 2 = 0 \] Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ \alpha = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 4 \), \( b = -6 \) e \( c = 2 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 36 - 32 = 4 \] Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara: \[ \alpha = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 4} = \frac{6 \pm 2}{8} \] Isso nos dá duas soluções: 1. \( \alpha = \frac{8}{8} = 1 \) 2. \( \alpha = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \) Portanto, os valores de \( \alpha \) que tornam os vetores \( u \) e \( v \) perpendiculares são: \[ \alpha = 1 \quad \text{e} \quad \alpha = \frac{1}{2} \]