Para resolver o problema, vamos usar algumas propriedades dos vetores. 1. Dados: - \( ||u|| = ||v|| = 2\sqrt{2} \) - \( ||u - v|| = 2\sqrt{2} \) 2. Usando a fórmula da norma: \[ ||u - v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 - 2 \langle u, v \rangle \] Substituindo os valores: \[ (2\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \langle u, v \rangle \] \[ 8 = 8 + 8 - 2 \langle u, v \rangle \] \[ 8 = 16 - 2 \langle u, v \rangle \] \[ 2 \langle u, v \rangle = 8 \implies \langle u, v \rangle = 4 \] 3. Calculando a norma de \( u + v \): \[ ||u + v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 + 2 \langle u, v \rangle \] Substituindo os valores: \[ ||u + v||^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 4 \] \[ ||u + v||^2 = 8 + 8 + 8 = 24 \] \[ ||u + v|| = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] 4. Calculando o ângulo entre \( u \) e \( v \): Usamos a relação: \[ \cos(\theta) = \frac{\langle u, v \rangle}{||u|| \cdot ||v||} \] Substituindo os valores: \[ \cos(\theta) = \frac{4}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] Portanto, \( \theta = 60^\circ \). Resumindo: - A norma de \( u + v \) é \( 2\sqrt{6} \). - O ângulo entre \( u \) e \( v \) é \( 60^\circ \).