1.21 Encontre a equação linear do plano que contém a circunferência de interseção das esferas x² + y² + z² = 9 e x² + y² + z² − 8y + 10z + 25 = 0.

Para encontrar a equação linear do plano que contém a circunferência de interseção das esferas dadas, siga os passos abaixo: 1. Identifique as esferas: - A primeira esfera é \( x^2 + y^2 + z^2 = 9 \). - A segunda esfera pode ser reescrita. Primeiro, reorganize a equação: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 8y + 10z + 25 = 0 \implies x^2 + (y^2 - 8y) + (z^2 + 10z) = -25 \] - Complete o quadrado para \( y \) e \( z \): \[ y^2 - 8y = (y - 4)^2 - 16 \quad \text{e} \quad z^2 + 10z = (z + 5)^2 - 25 \] - Substituindo: \[ x^2 + (y - 4)^2 - 16 + (z + 5)^2 - 25 = -25 \implies x^2 + (y - 4)^2 + (z + 5)^2 = 16 \] - Portanto, a segunda esfera é \( x^2 + (y - 4)^2 + (z + 5)^2 = 16 \). 2. Centros e raios das esferas: - A primeira esfera tem centro \( (0, 0, 0) \) e raio \( 3 \). - A segunda esfera tem centro \( (0, 4, -5) \) e raio \( 4 \). 3. Encontrar a circunferência de interseção: - A interseção das esferas é uma circunferência. O vetor normal ao plano que contém essa circunferência é dado pela diferença dos centros das esferas: \[ \text{Vetor normal} = (0, 4, -5) - (0, 0, 0) = (0, 4, -5) \] 4. Equação do plano: - A equação do plano pode ser escrita na forma \( Ax + By + Cz + D = 0 \), onde \( (A, B, C) \) é o vetor normal. - Usando o vetor normal \( (0, 4, -5) \): \[ 0 \cdot x + 4y - 5z + D = 0 \] - Para encontrar \( D \), substitua um ponto que está na circunferência. Um ponto que pode ser usado é o ponto médio entre os centros das esferas: \[ P = \left(0, \frac{0 + 4}{2}, \frac{0 - 5}{2}\right) = \left(0, 2, -2.5\right) \] - Substituindo \( P \) na equação do plano: \[ 4(2) - 5(-2.5) + D = 0 \implies 8 + 12.5 + D = 0 \implies D = -20.5 \] 5. Equação final do plano: - A equação do plano é: \[ 4y - 5z - 20.5 = 0 \] Portanto, a equação linear do plano que contém a circunferência de interseção das esferas é: \[ 4y - 5z = 20.5 \]