Questão 4. A função f(x) = { x³ sen(1/x²), se x ≠ 0; 0, se x = 0 } é derivável em x = 0? Justifique!

Para verificar se a função \( f(x) = \begin{cases} x^3 \sin(1/x^2), & \text{se } x \neq 0 \\ 0, & \text{se } x = 0 \end{cases} \) é derivável em \( x = 0 \), precisamos calcular a derivada em \( x = 0 \) usando o limite: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} \] Substituindo \( f(0) = 0 \): \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 \sin(1/h^2)}{h} = \lim_{h \to 0} h^2 \sin(1/h^2) \] Sabemos que \( |\sin(1/h^2)| \leq 1 \), então: \[ |h^2 \sin(1/h^2)| \leq |h^2| \] Assim, conforme \( h \to 0 \), \( h^2 \to 0 \). Portanto, pelo Teorema do Confronto: \[ \lim_{h \to 0} h^2 \sin(1/h^2) = 0 \] Logo, \( f'(0) = 0 \). Portanto, a função \( f(x) \) é derivável em \( x = 0 \) e \( f'(0) = 0 \).