Questão 7. Seja f(x) = ln(1 + x) + x³ + 7x. Assumindo que f admite inversa, calcule (f⁻¹)'(0).

Para calcular \((f^{-1})'(0)\), podemos usar a fórmula da derivada da função inversa: \[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{onde } f(x) = y \] Primeiro, precisamos encontrar \(f'(x)\): 1. Calcule \(f'(x)\): \[ f(x) = \ln(1 + x) + x^3 + 7x \] Derivando: \[ f'(x) = \frac{1}{1 + x} + 3x^2 + 7 \] 2. Encontre \(x\) tal que \(f(x) = 0\): Precisamos resolver \(f(x) = 0\): \[ \ln(1 + x) + x^3 + 7x = 0 \] Para \(x = 0\): \[ f(0) = \ln(1) + 0^3 + 7 \cdot 0 = 0 \] Portanto, \(f(0) = 0\). 3. Calcule \(f'(0)\): Agora, substituímos \(x = 0\) em \(f'(x)\): \[ f'(0) = \frac{1}{1 + 0} + 3 \cdot 0^2 + 7 = 1 + 0 + 7 = 8 \] 4. Calcule \((f^{-1})'(0)\): Usando a fórmula da derivada da função inversa: \[ (f^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{8} \] Portanto, a resposta é: \[ (f^{-1})'(0) = \frac{1}{8} \]