Questão 8. Suponha que f(a) = 0 e que f'(x) = √(1 + x⁴) + ln(1 + x²). Assumindo que f admite inversa em uma vizinhança de 0, calcule (f⁻¹)'(0).

Para calcular \((f^{-1})'(0)\), podemos usar a fórmula da derivada da função inversa: \[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \] Como sabemos que \(f(a) = 0\), podemos assumir que \(f^{-1}(0) = a\). Portanto, precisamos calcular \(f'(a)\). Dado que \(f'(x) = \sqrt{1 + x^4} + \ln(1 + x^2)\), substituímos \(x = a\): \[ f'(a) = \sqrt{1 + a^4} + \ln(1 + a^2) \] Agora, substituímos na fórmula da derivada da função inversa: \[ (f^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{\sqrt{1 + a^4} + \ln(1 + a^2)} \] Assim, a resposta final é: \[ (f^{-1})'(0) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^4} + \ln(1 + a^2)} \]