Qual é o valor de z que satisfaz z^3 - 8 = 0? a) 2 b) -2 c) 2 cis 2π/3 d) 2 cis 4π/3

Para resolver a equação \( z^3 - 8 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^3 = 8 \). Sabemos que \( 8 \) pode ser escrito como \( 2^3 \). Portanto, a equação se torna \( z^3 = 2^3 \). A solução principal é \( z = 2 \). No entanto, como estamos lidando com uma equação cúbica, também precisamos considerar as raízes complexas. As raízes cúbicas de um número podem ser encontradas usando a forma polar. O número \( 8 \) pode ser representado na forma polar como \( 8 \text{ cis } 0 \) (onde \( \text{cis} \theta = \cos \theta + i \sin \theta \)). As raízes cúbicas são dadas por: \[ z_k = 2 \text{ cis } \left( \frac{0 + 2k\pi}{3} \right) \quad \text{para } k = 0, 1, 2 \] Calculando para \( k = 0, 1, 2 \): - Para \( k = 0 \): \( z_0 = 2 \text{ cis } 0 = 2 \) - Para \( k = 1 \): \( z_1 = 2 \text{ cis } \left( \frac{2\pi}{3} \right) \) - Para \( k = 2 \): \( z_2 = 2 \text{ cis } \left( \frac{4\pi}{3} \right) \) Assim, as soluções são: - \( z_0 = 2 \) - \( z_1 = 2 \text{ cis } \frac{2\pi}{3} \) - \( z_2 = 2 \text{ cis } \frac{4\pi}{3} \) Portanto, as alternativas corretas são: - a) 2 - c) \( 2 \text{ cis } \frac{2\pi}{3} \) - d) \( 2 \text{ cis } \frac{4\pi}{3} \) Se a pergunta pede apenas um valor, a resposta mais direta e simples é a) 2.