1) Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método de Gauss:
a)

3x + y + 3z = 8
4x + 2y + 2z = 4
2x + 5y + 3z = − 12

b)
 2x1 − 8x2 + 24x3 + 18x4 = 84
4x1 − 14x2 + 52x3 + 42x4 = 190

Question

1) Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método de Gauss:
a)

3x + y + 3z = 8
4x + 2y + 2z = 4
2x + 5y + 3z = − 12

b)
 2x1 ...

Ed · Answer

Vamos resolver os sistemas lineares utilizando o método de Gauss.

### a) Sistema:
$$
\begin{cases}
3x + y + 3z = 8 \
4x + 2y + 2z = 4 \
2x + 5y + 3z = -12
\end{cases}
$$

1. **Montar a matriz aumentada:**
$$
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 3 & | & 8 \
4 & 2 & 2 & | & 4 \
2 & 5 & 3 & | & -12
\end{pmatrix}
$$

2. **Transformar a matriz em forma escalonada:**
   - Multiplicamos a primeira linha por $\frac{1}{3}$:
$$
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{3} & 1 & | & \frac{8}{3} \
4 & 2 & 2 & | & 4 \
2 & 5 & 3 & | & -12
\end{pmatrix}
$$

- Subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda e 2 vezes da terceira:
$$
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{3} & 1 & | & \frac{8}{3} \
0 & \frac{2}{3} & -2 & | & -\frac{8}{3} \
0 & \frac{13}{3} & 1 & | & -\frac{44}{3}
\end{pmatrix}
$$

- Multiplicamos a segunda linha por $\frac{3}{2}$:
$$
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{3} & 1 & | & \frac{8}{3} \
0 & 1 & -3 & | & -4 \
0 & \frac{13}{3} & 1 & | & -\frac{44}{3}
\end{pmatrix}
$$

- Subtraímos $\frac{13}{3}$ vezes a segunda linha da terceira:
$$
\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{3} & 1 & | & \frac{8}{3} \
0 & 1 & -3 & | & -4 \
0 & 0 & 14 & | & 8
\end{pmatrix}
$$

3. **Resolver o sistema:**
   - Da última linha, temos $14z = 8 \Rightarrow z = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
   - Substituindo $z$ na segunda linha: $y - 3\left(\frac{4}{7}\right) = -4 \Rightarrow y = -4 + \frac{12}{7} = -\frac{16}{7}$.
   - Substituindo $y$ e $z$ na primeira linha: $3x + \left(-\frac{16}{7}\right) + 3\left(\frac{4}{7}\right) = 8$ resulta em $x = \frac{8}{3}$.

### Resposta do sistema a):
$$
x = \frac{8}{3}, \quad y = -\frac{16}{7}, \quad z = \frac{4}{7}
$$

### b) Sistema:
$$
\begin{cases}
2x_1 - 8x_2 + 24x_3 + 18x_4 = 84 \
4x_1 - 14x_2 + 52x_3 + 42x_4 = 190
\end{cases}
$$

1. **Montar a matriz aumentada:**
$$
\begin{pmatrix}
2 & -8 & 24 & 18 & | & 84 \
4 & -14 & 52 & 42 & | & 190
\end{pmatrix}
$$

2. **Transformar a matriz em forma escalonada:**
   - Multiplicamos a primeira linha por $\frac{1}{2}$:
$$
\begin{pmatrix}
1 & -4 & 12 & 9 & | & 42 \
4 & -14 & 52 & 42 & | & 190
\end{pmatrix}
$$

- Subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda:
$$
\begin{pmatrix}
1 & -4 & 12 & 9 & | & 42 \
0 & 2 & -4 & 6 & | & -2
\end{pmatrix}
$$

- Multiplicamos a segunda linha por $\frac{1}{2}$:
$$
\begin{pmatrix}
1 & -4 & 12 & 9 & | & 42 \
0 & 1 & -2 & 3 & | & -1
\end{pmatrix}
$$

3. **Resolver o sistema:**
   - Da segunda linha, temos $x_2 - 2x_3 + 3x_4 = -1$.
   - Substituindo $x_2$ na primeira linha: $x_1 - 4(-1 + 2x_3 - 3x_4) + 12x_3 + 9x_4 = 42$.

### Resposta do sistema b):
O sistema é indeterminado, com $x_3$ e $x_4$ como variáveis livres.

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2) Um circuito elétrico pode ser representado pelo sistema de equações lineares
i1 − i2 + i3 = 0
2i1 + i2 = 7
i2 + 5i3 = 8
, onde i1, i2 e i3 são correntes a serem determinadas. Resolva o sistema usando o método de Gauss ou do escalonamento.

3) Sejam os vetores u = (−1, 2, 0), v = (−2, 0, 3) e w = (3, 1, 6). Determine:
a) 〈u, v〉
b) ‖u‖
c) A distância entre os vetores u e v, d(u, v)
d) ‖u + v‖

4) Determine as condições que a, b, c devem satisfazer para que o sistema abaixo possua solução:
x + 2y =a
−3x + 4y =b
2x− y =c

5) Verifique se a matriz A =

3 2 −5
2 −4 −2
1 −2 −3
 é invertível. Em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A, A−1.

6) Encontre a equação vetorial e paramétrica da reta que passa pelo ponto P0 = (1,−1, 2) e é perpendicular ao plano de equação 2x− 3y + z = 1.

7) Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos P0 = (1, 0,−2), P1 = (−3, 2, 0), P3 = (5, 1,−1).

8) Encontre as equações vetorial e paramétricas do plano que passa por P = (−2, 1, 7) e é perpendicular a reta x = 4 + 2t, y = −2 + 3t, z = −5t.

9) Determine se a reta de equações paramétricas x = −5−4t, y = 1− t, z = 3+2t e o plano de equação geral x+ 2y + 3z = 9 são paralelos. Justifique sua resposta.

10) Determine se os planos 3x − y + z = 4 e x + 2z = −1 são perpendiculares. Justifique sua resposta.

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2) Um circuito elétrico pode ser representado pelo sistema de equações linearesi1 − i2 + i3 = 02i1 + i2 = 7i2 + 5i3 = 8, onde i1, i2 e i3 são correntes a serem determinadas. Resolva o sistema usando o método de Gauss ou do escalonamento.

3) Sejam os vetores u = (−1, 2, 0), v = (−2, 0, 3) e w = (3, 1, 6). Determine:a) 〈u, v〉b) ‖u‖c) A distância entre os vetores u e v, d(u, v)d) ‖u + v‖

4) Determine as condições que a, b, c devem satisfazer para que o sistema abaixo possua solução:x + 2y =a−3x + 4y =b2x− y =c

5) Verifique se a matriz A =3 2 −52 −4 −21 −2 −3 é invertível. Em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A, A−1.

6) Encontre a equação vetorial e paramétrica da reta que passa pelo ponto P0 = (1,−1, 2) e é perpendicular ao plano de equação 2x− 3y + z = 1.

7) Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos P0 = (1, 0,−2), P1 = (−3, 2, 0), P3 = (5, 1,−1).

8) Encontre as equações vetorial e paramétricas do plano que passa por P = (−2, 1, 7) e é perpendicular a reta x = 4 + 2t, y = −2 + 3t, z = −5t.

9) Determine se a reta de equações paramétricas x = −5−4t, y = 1− t, z = 3+2t e o plano de equação geral x+ 2y + 3z = 9 são paralelos. Justifique sua resposta.

10) Determine se os planos 3x − y + z = 4 e x + 2z = −1 são perpendiculares. Justifique sua resposta.

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i1 − i2 + i3 = 0
2i1 + i2 = 7
i2 + 5i3 = 8
, onde i1, i2 e i3 são correntes a serem determinadas. Resolva o sistema usando o método de Gauss ou do escalonamento.

3) Sejam os vetores u = (−1, 2, 0), v = (−2, 0, 3) e w = (3, 1, 6). Determine:
a) 〈u, v〉
b) ‖u‖
c) A distância entre os vetores u e v, d(u, v)
d) ‖u + v‖

4) Determine as condições que a, b, c devem satisfazer para que o sistema abaixo possua solução:
x + 2y =a
−3x + 4y =b
2x− y =c

5) Verifique se a matriz A =

3 2 −5
2 −4 −2
1 −2 −3
 é invertível. Em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A, A−1.