8) Encontre as equações vetorial e paramétricas do plano que passa por P = (−2, 1, 7) e é perpendicular a reta x = 4 + 2t, y = −2 + 3t, z = −5t.

Para encontrar as equações vetorial e paramétricas do plano que passa pelo ponto \( P = (-2, 1, 7) \) e é perpendicular à reta dada, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Identificar o vetor normal do plano: A reta é dada por \( x = 4 + 2t \), \( y = -2 + 3t \), \( z = -5t \). O vetor diretor da reta é \( \mathbf{v} = (2, 3, -5) \). Esse vetor será o vetor normal do plano. 2. Usar a equação do plano: A equação de um plano na forma vetorial é dada por: \[ \mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) = 0 \] onde \( \mathbf{n} \) é o vetor normal, \( \mathbf{r} \) é um vetor genérico no plano e \( \mathbf{r_0} \) é um ponto no plano. Substituindo: \[ (2, 3, -5) \cdot ((x, y, z) - (-2, 1, 7)) = 0 \] 3. Expandir a equação: \[ (2, 3, -5) \cdot (x + 2, y - 1, z - 7) = 0 \] Isso resulta em: \[ 2(x + 2) + 3(y - 1) - 5(z - 7) = 0 \] Simplificando: \[ 2x + 4 + 3y - 3 - 5z + 35 = 0 \] \[ 2x + 3y - 5z + 36 = 0 \] 4. Equação vetorial do plano: A equação vetorial pode ser escrita como: \[ \mathbf{r} = (-2, 1, 7) + s(1, 0, 0) + t(0, 1, 0) \] onde \( s \) e \( t \) são parâmetros que geram vetores que estão no plano. 5. Equações paramétricas do plano: As equações paramétricas são: \[ x = -2 + s \] \[ y = 1 + t \] \[ z = 7 + \frac{2}{5}s + \frac{3}{5}t \] Assim, temos as equações do plano que passa pelo ponto \( P \) e é perpendicular à reta dada.