Para encontrar a matriz \( A \) que representa a transformação linear \( T(p) = p + \frac{dp}{dx} \) na base \( \alpha = \{1, x, x^2\} \), precisamos calcular \( T \) para cada elemento da base e expressar o resultado na mesma base. 1. Calcular \( T(1) \): \[ T(1) = 1 + \frac{d(1)}{dx} = 1 + 0 = 1 \] Na base \( \alpha \), isso é \( [1, 0, 0] \). 2. Calcular \( T(x) \): \[ T(x) = x + \frac{d(x)}{dx} = x + 1 \] Na base \( \alpha \), isso é \( [1, 1, 0] \). 3. Calcular \( T(x^2) \): \[ T(x^2) = x^2 + \frac{d(x^2)}{dx} = x^2 + 2x \] Na base \( \alpha \), isso é \( [0, 2, 1] \). Agora, montamos a matriz \( A \) com as colunas correspondentes aos resultados: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] Assim, a matriz que representa a transformação linear \( T \) na base \( \alpha \) é: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] Portanto, a resposta correta é a alternativa (a).