Vamos analisar a matriz \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \). 1. Imagem de A: Para encontrar a dimensão da imagem, precisamos identificar o número de colunas linearmente independentes. Observando a matriz, as colunas 1 e 3 são linearmente independentes, enquanto a coluna 2 é uma combinação linear das outras. Portanto, a imagem de \( A \) tem dimensão 2. A alternativa (a) é verdadeira. 2. Núcleo de A: O núcleo é o conjunto de soluções da equação \( A\mathbf{x} = 0 \). Para determinar a dimensão do núcleo, podemos usar a fórmula da dimensão: \( \text{dimensão do núcleo} = n - \text{dimensão da imagem} \). Aqui, \( n = 3 \) (número de colunas) e a dimensão da imagem é 2, então a dimensão do núcleo é \( 3 - 2 = 1 \). Portanto, a alternativa (b) é falsa. 3. Autovalores: Para encontrar os autovalores, precisamos calcular o determinante de \( A - \lambda I \). A matriz tem autovalores 0, 2 e 3, então não possui dois autovalores iguais. A alternativa (c) é falsa. 4. Invertibilidade: Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero. Como a matriz tem um autovalor igual a 0, ela não é invertível. A alternativa (d) é falsa. Portanto, a alternativa verdadeira é: (a) A imagem de A tem dimensão 2.