Para determinar a forma polar do número complexo \( z = -2 - 2\sqrt{3}i \), precisamos encontrar o módulo e o argumento. 1. Cálculo do módulo: \[ |z| = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \] 2. Cálculo do argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-2\sqrt{3}}{-2}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \] Como o número está no terceiro quadrante (tanto a parte real quanto a imaginária são negativas), devemos adicionar \( \pi \): \[ \theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \] 3. Forma polar: A forma polar é dada por: \[ z = r \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) = 4 \left( \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) \right) \] Agora, analisando as alternativas: A) \( 2\sqrt{4} \left( \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) \right) \) - Não é a forma correta. B) \( 2 \left( \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) \right) \) - O módulo está incorreto, pois deveria ser 4. C) \( 2 \left( \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right) \) - O argumento está incorreto. D) 0 - Não é a forma correta. Portanto, a alternativa correta é a B, mas com o módulo correto, que deveria ser \( 4 \). A resposta correta não está listada, mas a opção B é a que mais se aproxima, considerando o argumento.